YO-KOE · SYKSY 2023
Pitkä matematiikka, syksy 2023
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2023 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.
A-osa
- 1. Yhtälö ja epäyhtälö12 p · MAY1Ratkaise yhtälö -7x+3=17. (3 p.) Ratkaise epäyhtälö -7x+3<17. (3 p.) Ratkaise yhtälö x^2+x=2. (3 p.) Ratkaise epäyhtälö x^2+x-2≤ 0. (3 p.)
- 2. Tason pisteitä12 p · MAA4Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria. Kunkin vastauksen maksimipituus on 10 merkkiä.…
- 3. Minimointi12 p · MAA6Määritä funktion f(x)=x^2+(16)/(x^2) pienin arvo, kun x>0.
- 4. Vektorit ja taso12 p · MAA10Tarkastellaan vektoreita u=3 i+ j-2 k, v= i+2 j-2 k ja w=-5 i-5 j+6 k. 1. Määritä vektori u+2 v- w. (3 p.) 2. Vektorit u ja v virittävät origon kautta kulkevan tason T, eli ne ovat tason suuntavektoreita. Määritä…
B1-osa
- 5. Matematiikan merkintöjä12 p · MAY1Kuinka seuraavat sanalliset kuvaukset voidaan ilmaista symbolein? Valitse parhaiten soveltuva vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 1 p. tai 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p. 5.1 Luvun…
- 6. Appelsiinien kuoret12 p · MAY1Kaupassa myydään kokonaisia appelsiineja 1,50 euron kilohinnalla ja kuorittuja appelsiineja 9,50 euron kilohinnalla. Kuorimattomien appelsiinien ympärysmitta on 25,0 cm ja kuoren paksuus 6,0 mm. 1. Kuinka suuri osuus…
- 7. Ken Guru hyppii12 p · MAA8Ken Guru on 3· 3 -ruudukon vasemman yläkulman ruudussa A, ja sen on päästävä hyppimällä oikean alakulman ruutuun B. Yksittäinen hyppy on mahdollinen vain naapuriruutuun joko suoraan oikealle tai suoraan alas, muttei…
- 8. Ison luvun jaollisuus12 p · MAA111. Määritä suurin luku k∈ N, jolle 1023 -1 ( mod 2^k). (3 p.) 2. Todista, että luku 2^12345678910-1 on jaollinen luvulla 1023. (9 p.)
- 9. Taidemuseon aaltoileva aita12 p · MAA7Taidemuseon aita halutaan maalata ja sen pinta-alaa mallinnetaan integraalilla ∫0^4 ( (10 x+x^2)2+1 ) dx. Arvioi integraalia puolisuunnikassäännön avulla käyttäen 10:tä ja 100:aa jakoväliä. Laske näiden arvioiden…
B2-osa
- 10. Parilliset ja parittomat funktiot12 p · MAA6Funktio h: R→ R on parillinen, jos h(-x)=h(x) kaikilla x∈ R, ja pariton, jos h(-x)=-h(x) kaikilla x∈ R. Valitse osatehtävissä 10.1–10.4 oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 1 p., väärä…
- 11. Väliarvolauseen ehdot12 p · MAA12Tässä tehtävässä tutkitaan, milloin välillä [-1,1] määritelty funktio f toteuttaa väliarvolause-ehdon: f'(a)=(f(1)-f(-1))/(1-(-1)) jollakin luvulla a∈ ]-1,1[ . Vastaa perustellen seuraaviin osatehtäviin. 1. Anna…
- 12. Palautuskaavat12 p · MAA71. Olkoon fn(x)=x^n x ja gn(x)=x^n x, kun n=0,1,2, Laske derivaatat fn'(x) ja gn'(x). (2 p.) 2. Merkitään Sn=∫0^πx^n x dx ja Cn=∫0^πx^n x dx . Laske S0 ja C0. (2 p.) 3. Oletetaan, että integraaleille Sn ja Cn pätevät…
- 13. Kertoman arviointi12 p · MAA12Perustele seuraavat epäyhtälöt. 1. k≤ ∫k^k+1 x dx, kun k=1, 2, 3, (3 p.) 2. Σk=1^n k≤ ∫1^n+1 x dx, kun n=1, 2, 3, (3 p.) 3. n!≤ e ((n+1)/(e) )^n+1, kun n=1, 2, 3, (6 p.)