Väliarvolauseen ehdot · 2023 · syksy

Tässä tehtävässä tutkitaan, milloin välillä $[-1,1]$ määritelty funktio $f$ toteuttaa väliarvolause-ehdon: $$f'(a)=\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)} \qquad\text{jollakin luvulla } a\in {}]{-1},1[\,.$$ Vastaa perustellen seuraaviin osatehtäviin. 1. Anna esimerkki funktiosta, joka on jatkuva suljetulla välillä $[-1,1],$ derivoituva avoimella välillä $]{-1},1[$ ja toteuttaa väliarvolause-ehdon. (4 p.) 2. Anna esimerkki funktiosta, joka on jatkuva suljetulla välillä $[-1,1]$ mutta joka ei ole derivoituva avoimella välillä $]{-1},1[$ eikä toteuta väliarvolause-ehtoa. (4 p.) 3. Anna esimerkki funktiosta, joka on derivoituva avoimella välillä $]{-1},1[$ mutta joka ei ole jatkuva suljetulla välillä $[-1,1]$ eikä toteuta väliarvolause-ehtoa. (4 p.)