YO-KOE · KEVÄT 2023
Pitkä matematiikka, kevät 2023
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2023 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.
A-osa
- 1. Monivalintatehtävä12 p · MAY1Valitse oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p. 1.1 Mittayksiköt (2 p.) Kuinka monta millimetriä on yksi kilometri? … 1.2 Lieriö (2 p.) Lieriö,…
- 2. Yhdistely12 p · MAA5Alla on annettu 12 yhtälöä. Yhdeksää niistä vastaa jokin kuvassa 2.A annetuista kuvaajista. Yhdistä kukin yhtälö sitä vastaavaan kuvaajaan tai merkitse, että sellaista ei ole. Valitse oikea vaihtoehto. Vastauksia ei…
- 3. Ratakisko12 p · MAA3Kymmenen metriä pitkä museoratakisko on vääntynyt lämpölaajenemisen vuoksi mutkalle, mutta sen päät ovat pysyneet paikoillaan (katso liioiteltu kuva 3.A tilanteesta). Kiskon poikkeama sen alkuperäisestä sijainnista…
- 4. Suoran etäisyys kahdesta pisteestä12 p · MAA4Määritä kaikki suorat, joiden etäisyys pisteestä A=(-2,0) on 2 ja etäisyys pisteestä B=(3,0) on 3.
B1-osa
- 5. Taikaneliö12 p · MAA11Kuparikaiverrus Melankolia I (katso kuva 5.A) on saksalaisen Albrecht Dürerin tunnetuimpia teoksia. Teos sisältää 4· 4 -taikaneliön, jossa jokaisen vaaka- ja pystyrivin lukujen summa on 34. Alla olevassa ruudukossa…
- 6. Raketin nokkakartio12 p · MAA7Erään raketin kärki, eli niin sanottu nokkakartio, saadaan, kun alaspäin aukeava paraabeli pyörähtää symmetria-akselinsa ympäri. Kärjen korkeus on 4,5 metriä, ja sen halkaisija pohjan tasolla on 3,3 metriä. Määritä…
- 7. Vektoreiden summa12 p · MAA4Tarkastellaan vektoreita u= i+2 j ja v = (2t) i + (4t) j, missä t ≥ 0. 1. Määritä vektori u+ v, kun t=0, t= π 4 ja t= 3π4. (4 p.) 2. Mikä tasokuvio muodostuu vektorin u+ v kärkipisteestä, kun t saa arvot välillä [0,…
- 8. Polynomien vertailu12 p · MAA111. Osoita induktiolla, että k^3≥ k^2+4 kaikilla kokonaisluvuilla k≥ 2. (6 p.) 2. Osoita, että osatehtävän 8.1 epäyhtälö ei päde millään kokonaisluvulla k<0. (2 p.) 3. Osoita, että epäyhtälö x^3≥ x^2+4 pätee kaikilla…
- 9. Integraalialgoritmi12 p · MAA11Tekstissä 9.A on esitetty pseudokoodilla kirjoitettu algoritmi. 1. Minkä tuloksen algoritmi antaa, kun a=0, b=1 ja n=5? (2 p.) 2. Tee taulukkolaskenta- tai ohjelmointitoteutus algoritmille, kun a=-1, b=2 ja n=1000.…
B2-osa
- 10. Positroniemissiotomografia12 p · MAA5Positroniemissiotomografia (PET) on lääketieteellinen kuvantamismenetelmä, jonka avulla voidaan mallintaa sisäelinten toimintaa. PET-kuvan avulla on mahdollista muodostaa aika-aktiivisuuskäyrä, joka on muotoa…
- 11. Nopanheiton opetus12 p · MAA81. Eeri haluaa valita kahdesta nopasta paremman. Hän heittää niitä kerran ja valitsee nopan, joka antaa suuremman tuloksen. Jos kumpikin noppa antaa saman tuloksen, hän valitsee toisen nopista. Kummassakin tapauksessa…
- 12. Polynomikonstruktio12 p · MAA2Anna esimerkki polynomista P(x), joka toteuttaa seuraavat ehdot: Yhtälöllä P(x)=1 on täsmälleen kaksi erisuurta ratkaisua, ja yhtälöllä P(x)=-1 on ainakin neljä erisuurta ratkaisua. Täysien pisteiden arvoinen ratkaisu…
- 13. Integraalin ja raja-arvon järjestyksen vaihto12 p · MAA12Olkoon f(x,s)=(1-s)/((1+x^2-2sx)^2), kun 0<s<1 ja 0≤ x≤ 1. Tarkastellaan vasemmanpuoleista raja-arvoa s→ 1, jota joskus merkitään s→ 1^-. 1. Määritä g(x)= s→ 1 f(x,s) kaikilla 0≤ x<1, ja laske ∫0^1 g(x) dx. (3 p.) 2.…