YO-KOE · KEVÄT 2024
Pitkä matematiikka, kevät 2024
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2024 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.
A-osa
- 1. Kulmanmetsästys12 p · MAA3Määritä kuviin merkityt tuntemattomat kulmat asteen tarkkuudella. Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen kohdan vastaus on kokonaisluku. 1.1…
- 2. Polynomi12 p · MAA6Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen kohdan vastaus on kokonaisluku. 1. Laske polynomin p(x)=12x^3+4x arvo kohdassa x=2. … 2. Laske polynomin…
- 3. Itseisarvoyhtälöitä12 p · MAA2Ratkaise algebrallisesti tai geometrisesti seuraavat yhtälöt. 1. |y+3|=|y+5|. (6 p.) 2. |x|+|x-5|=7. (6 p.)
- 4. Laskuvarjohyppääjä12 p · MAA6Mallinnetaan laskuvarjohyppääjän putoamisnopeutta funktiolla v(t) = 80 e^t/4-1e^t/4+1, kun aikaa t mitataan sekunneissa hyppäyshetkestä t=0 alkaen ja nopeuden yksikkö on metriä sekunnissa. Johda derivaattakaava D (8…
B1-osa
- 5. Lämpötilaruudukko12 p · MAA2Lämpötilajakaumaa voidaan mallintaa ruudukolla, jossa ruudussa oleva luku on kyseisen ruudun lämpötila celsiusasteina. Lämpötilat noudattavat seuraavaa keskiarvoperiaatetta: jokaisen ruudun lämpötila on neljän…
- 6. Piste hukassa12 p · MAA4Tason pisteen C etäisyys pisteestä A=(5, 4) on √20 ja etäisyys pisteestä B=(8, -2) on √65. Lisäksi pisteen C etäisyys pisteen B kautta kulkevasta, vektorin 5 i+2 j suuntaisesta suorasta s on alle 7. Määritä pisteen C…
- 7. Scrabble12 p · MAA8Englanninkielisessä Scrabble-pelissä pussissa on 100 laattaa, joista 2 on tyhjää, 56 konsonanttilaattaa ja 42 vokaalilaattaa. Vokaalilaatoista yhdeksässä on A-kirjain. Pelaaja nostaa pussista 7 laattaa palauttamatta…
- 8. Taivaanmekaniikka12 p · MAA10Maapallo pyörii akselinsa ympäri. Akselin ja Maan kiertoradan tason (eli ratatason) normaalin välisen kulman suuruus on 23,5 astetta, ja akselin suunta pysyy samana Maan kiertäessä Aurinkoa. Akselin asento on…
- 9. Kääntyvä, muttei monotoninen12 p · MAA6Anna esimerkki funktiosta f:A→ B, jolla on käänteisfunktio, mutta joka ei ole monotoninen. Muista kertoa, mitkä ovat funktiosi määrittelyjoukko A ja arvojoukko B.
B2-osa
- 10. Tekoäly ja lukuteorian ihmeet12 p · MAA11Alkulukua q kutsutaan alkulukukaksoseksi, jos myös q+2 tai q-2 on alkuluku. Tekoälyltä kysyttiin, kuinka monta alkulukukaksosta on olemassa, ja sen vastaus on tekstissä 10.A. Vastaa aineiston pohjalta seuraaviin…
- 11. Brownin liike12 p · MAA8Vuonna 1827 kasvitieteilijä Robert Brown tutki mikroskoopilla, miten siitepölyhiukkanen liikkuu nykien vedessä. Brownin koe viittasi molekyylien olemassaoloon, ja sillä oli siten tärkeä rooli atomiteorian historiassa.…
- 12. Potensseja aritmeettisissa lukujonoissa12 p · MAA111. Olkoon k>0 kokonaisluku. Osoita, että jos päättymätön kasvava aritmeettinen lukujono sisältää luvut k^2 ja k^3, niin se sisältää luvun k^4. (6 p.) 2. Osoita, että jos r^2, r^3 ja r^4 sisältyvät aritmeettiseen…
- 13. Raja-arvo12 p · MAA12Ohjelmiston mukaan x→ 0 ( (1)/(x^2)-( x)/(x^3) ) = 16. Perustele tämä tulos seuraavien välivaiheiden avulla. [i] Osoita, että x- x - (1)/(6)x^3≤ 0, kun 0≤ x≤ 1. [ii] Osoita, että x- x - (1)/(6)x^3+(1)/(120)x^5≥ 0, kun…