Palautuskaavat · 2023 · syksy

1. Olkoon $f_n(x)=x^n\sin x$ ja $g_n(x)=x^n\cos x,$ kun $n=0,1,2,\dots$ Laske derivaatat $f_n'(x)$ ja $g_n'(x).$ (2 p.) 2. Merkitään $$S_n=\int_0^{\pi}x^n\sin x\, dx \quad\text{ja}\quad C_n=\int_0^{\pi}x^n\cos x\, dx .$$ Laske $S_0$ ja $C_0.$ (2 p.) 3. Oletetaan, että integraaleille $S_n$ ja $C_n$ pätevät rekursiokaavat $$S_n=nC_{n-1}+\pi^n \quad\text{ja}\quad C_n =-nS_{n-1},$$ kun $n=1,2,3,\dots$ Laske näitä kaavoja käyttämällä integraalin $S_4$ arvo. (2 p.) 4. Integroi osatehtävässä 1 saadut derivaattakaavat puolittain välillä $[0,\pi]$ ja johda tulosten avulla osatehtävän 3 molemmat rekursiokaavat. (6 p.)