YO-KOE · KEVÄT 2022
Pitkä matematiikka, kevät 2022
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2022 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.
A-osa
- 1. Perustehtäviä12 p · MAY1Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen kohdan vastaus on kokonaisluku. Tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria. Kunkin…
- 2. Useita ratkaisutapoja12 p · MAA2Yhtälöitä ratkaistaessa käytetään usein osittelulakia eli kerrotaan sulkeet auki tai otetaan yhteinen tekijä; 4(x+1)=4x+4 on esimerkki sulkeiden auki kertomisesta ja 4x+4=4(x+1) on esimerkki yhteisen tekijän…
- 3. abBA-tehtävä12 p · MAA21. Sievennä lauseke (a^2+√2 ab+b^2)(a^2-√2 ab+b^2). (6 p.) 2. Funktiosta f(x)=Ae^2x+B (3x) tiedetään, että f(0)=4 ja f'(0)=5. Määritä vakioiden A ja B arvot. (6 p.)
- 4. Polynomit12 p · MAA7Polynomien f(x)=(x-2)(x+2)(x-1) ja g(x)=-2(x-2)(x+2)(x+1) kuvaajat leikkaavat toisensa kolmessa pisteessä (2, 0), (-2, 0) ja (x0, y0), missä -2<x0<0. 1. Määritä leikkauspiste (x0, y0). (4 p.) 2. Laske polynomien…
B1-osa
- 5. Monivalinnat12 p · MAA3Valitse oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 1 tai 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p. 5.1 Kaikissa suunnikkaissa lävistäjät (1 p.) … 5.2 Kuutiossa on (1 p.) … 5.3 Suora, jolla on…
- 6. Ympyrä kohtaa paraabelin12 p · MAA4Tämän tehtävän voi ratkaista likimääräisesti ohjelmistolla. Tällöin perusteluiksi riittävät kuvakaappaukset tai selitykset, joista ilmenee, mitä on tehty. Tehtävän voi myös ratkaista algebrallisesti laskemalla. Olkoon…
- 7. Makeismatematiikkaa12 p · MAA81. Makeispussissa on 22 salmiakkimakeista ja 19 hedelmämakeista. Eeri ottaa pussista kolme makeista. Millä todennäköisyydellä kaikki kolme ovat hedelmämakeisia? (6 p.) 2. Kaikki Eerin ottamat makeiset olivat…
- 8. Jatkuva mutta ei derivoituva funktio12 p · MAA6Anna esimerkki jatkuvasta funktiosta f R→ R, joka ei ole derivoituva kohdassa x=1. Perustele erotusosamäärän (f(x)-f(1))/(x-1) avulla, miksi funktio ei ole derivoituva kohdassa x=1. Perustele lisäksi funktion jatkuvuus.
- 9. Ympyrä ja numeeriset menetelmät12 p · MAA7Tarkastellaan yksikköympyrän ensimmäisessä neljänneksessä sijaitsevaa osaa, eli ehtojen 0≤ x≤ 1 ja 0≤ y ≤ √1-x^2 määräämää aluetta B. Arvioidaan alueen B pinta-alaa puolisuunnikassäännöllä ja keskipistesäännöllä.…
B2-osa
- 10. Veistos12 p · MAA10Puistossa sijaitseva veistos on rakennettu käyttäen rautatankoja geometristen muotojen särminä kuvan 10.A mukaisesti. Veistoksen yläosa on pyramidi ja alaosa on suorakulmainen särmiö, jonka pohja on neliön muotoinen.…
- 11. Mitkä vektorit?12 p · MAA41. Tason vektorit a ja b toteuttavat yhtälöparin cases( a + b) · ( a - b) = 2\ 2 a · a + 3 b · b = 5. cases Määritä vektorien a ja b pituudet. (5 p.) 2. Osatehtävän 1 vektorit a ja b toteuttavat lisäksi yhtälöparin…
- 12. Pascalin kolmio12 p · MAA11Pascalin kolmion sisällä jokainen luku saadaan laskemalla yhteen kaksi sen yläpuolella olevaa lukua (ks. animaatio 12.A). Jokaisen rivin reunimmaiset luvut ovat ykkösiä. Rivillä n kohdassa k olevalle luvulle käytetään…
- 13. Korkea-asteinen polynomi12 p · MAA2Tarkastellaan polynomia P(x)=x^2n+1-(x-n)(x-n+1) (x+n-1)(x+n), missä n>0 on kokonaisluku ja x on reaaliluku. Osoita, että polynomilla P(x) 1. on ainakin yksi nollakohta (4 p.) 2. on korkeintaan 2n-1 nollakohtaa (4 p.)…