Pascalin kolmio · 2022 · kevät

Pascalin kolmion sisällä jokainen luku saadaan laskemalla yhteen kaksi sen yläpuolella olevaa lukua (ks. animaatio 12.A). Jokaisen rivin reunimmaiset luvut ovat ykkösiä. Rivillä $n$ kohdassa $k$ olevalle luvulle käytetään merkintää $p_{n,k}.$ Pascalin kolmion luvut määritellään rekursiivisesti asettamalla $p_{n,0}=p_{n,n}=1$ kaikilla $n\ge 0$ ja $$p_{n,k}=p_{n-1,k}+p_{n-1,k-1},$$ kun $n\ge 2$ ja $0<k<n.$ Huomaa, että indeksien $n$ ja $k$ numerointi alkaa nollasta. Osoita induktiolla, että Pascalin kolmion rivillä $n$ olevien lukujen summa on $2^n,$ eli $$\sum_{k=0}^n p_{n,k} = 2^n.$$