Mitkä vektorit? · 2022 · kevät

1. Tason vektorit $\overline{a}$ ja $\overline{b}$ toteuttavat yhtälöparin $$\begin{cases}(\overline{a} + \overline{b}) \cdot (\overline{a} - \overline{b}) = 2\\ 2\, \overline{a} \cdot \overline{a} + 3\, \overline{b} \cdot \overline{b} = 5. \end{cases}$$ Määritä vektorien $\overline{a}$ ja $\overline{b}$ pituudet. (5 p.) 2. Osatehtävän 1 vektorit $\overline{a}$ ja $\overline{b}$ toteuttavat lisäksi yhtälöparin $$\begin{cases}\overline{a} \cdot \overline{b} = \dfrac{\sqrt{11}}{10} \\ \overline{b} \cdot (\sqrt{3}\: \overline{i} - \overline{j}) = \dfrac1{\sqrt{5}}\, . \end{cases}$$ Merkitään vektorien $\overline{a}$ ja $\overline{b}$ välistä kulmaa symbolilla $\varphi$ ja vektorien $\sqrt{3}\: \overline{i} - \overline{j}$ ja $\overline{b}$ välistä kulmaa symbolilla $\theta$. Määritä kulmien $\varphi$ ja $\theta$ suuruudet. (5 p.) 3. Määritä kaikki mahdolliset vektorit $\overline{a}$, jotka toteuttavat osatehtävien 1 ja 2 ehdot, kun $\overline{b}=-\frac{1}{\sqrt{5}}\,\overline{j}.$ (2 p.)