YO-KOE · SYKSY 2021
Pitkä matematiikka, syksy 2021
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2021 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.
A-osa
- 1. Sopivia lukuja12 p · MAY1Valitse oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 3 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p. 1.1 Mikä on lausekkeen 1-3x arvo, kun x=2? (3 p.) … 1.2 Jonon (an) yleinen termi on muotoa an=3·…
- 2. Geometrisia pikkutehtäviä12 p · MAA4Valitse oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p. 2.1 Paraabelit y=4x^2 ja y=x^2-1 (2 p.) … 2.2 Pisteiden (1,6) ja (-1,-6) välisen janan…
- 3. Integraaleja12 p · MAA7Jokaisesta osatehtävästä voi saada 4 pistettä. 1. Laske ∫ (x^2+1) dx. 2. Laske ∫0^ π 2 (2x) dx. 3. Laske ∫-1^1 |x|^3 dx.
- 4. Tasokäyrä12 p · MAA4Tarkastellaan vektoreita v(t) = t i + 1t^2 j, kun t>0. 1. Laske pistetulo ( i - j)· v(3). (3 p.) 2. Määritä vektorin v(3) pituus. (2 p.) 3. Millä muuttujan t>0 arvolla vektori v(t) on mahdollisimman lyhyt? (7 p.)…
B1-osa
- 5. Ilmanpaine12 p · MAA5Ilmanpaine pienenee maanpinnalta ylöspäin noustaessa kaavan p(h) = p0 (1- 0,00976 hT0 )^3,50 mukaisesti, kun p0 ja T0 ovat ilmanpaine ja lämpötila maanpinnalla (yksikköinä kPa ja K), ja h on korkeus maanpinnalta (m).…
- 6. Yhtälöitä tasossa12 p · MAA41. Tasojoukko A koostuu niistä pisteistä (x,y), joiden etäisyys pisteestä (-3,1) on 4. Mikä yhtälö kuvaa joukon A pisteitä? Miksi joukon A pisteitä ei voida esittää muodossa y=f(x) minkään funktion f avulla? (6 p.) 2.…
- 7. Avaruuskappale12 p · MAA10Tämä tehtävä on tarkoitettu ratkaistavaksi ohjelmistolla. Vastaukset voi antaa likiarvoina, ja perusteluiksi riittävät kuvakaappaukset tai selitykset, joista ilmenee, mitä on mitattu. Tehtävän voi myös ratkaista…
- 8. Raja-arvon suhteellinen virhe12 p · MAA6Tarkastellaan raja-arvoa t→ π4 t - 1√2t- π 4. 1. Laske raja-arvolle likiarvot, kun t- π 4 = 10^-k, k=2,3,4. (4 p.) 2. Osoita, että raja-arvon tarkka arvo on 1√2 tulkitsemalla tutkittava lauseke erotusosamääräksi. (4…
- 9. Tilin tyhjennys12 p · MAA11Mikko tyhjentää tilinsä nostamalla pankkiautomaatista 370 euroa. Automaatti antaa hänelle x kappaletta kahdenkymmenen ja y kappaletta viidenkymmenen euron seteleitä. 1. Muodosta tapahtumaa kuvaava yhtälö, jonka luvut x…
B2-osa
- 10. Osittaisderivaatta12 p · MAA6Tarkastellaan kahden muuttujan funktiota f(x,y)=x^4+32x+y^2-6y+60. 1. Laske funktion f osittaisderivaatat fx ja fy. (4 p.) 2. Oletetaan tunnetuksi, että tämän funktion f pienin arvo saadaan siinä tason pisteessä, jossa…
- 11. Noppapeli12 p · MAA8Eräässä pelissä kaksi pelaajaa A ja B heittävät noppaa vuorotellen, kunnes toinen pelaaja voittaa ja peli loppuu. Pelaaja A voittaa pelin, jos hän heittää vuorollaan tuloksen 1 tai 2. Pelaaja B voittaa pelin, jos hän…
- 12. Paraabelialueita12 p · MAA7Tarkastellaan paraabeleja, jotka kulkevat pisteiden (-1, 0) ja (1, 0) kautta ja ovat y-akselin suhteen symmetrisiä. 1. Kirjoita tällaisen paraabelin yleinen yhtälö. (2 p.) 2. Millä ehdolla kaksi tällaista paraabelia…
- 13. Eksponenttiyhtälö12 p · MAA6Tutki yhtälön e^ax = x positiivisten ratkaisujen lukumäärää kaikilla parametrin a>0 eri arvoilla.