Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · SYKSY 2022

Pitkä matematiikka, syksy 2022

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2022 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Monivalintatehtävä12 p · MAA2Valitse oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p. 1.1 Sievennys (2 p.) Sievennä (x + 6)^2- (-2x^2 + x - 5) = … 1.2 Tulomuoto (2 p.) Yhtälö -4x^3 +…
  2. 2. Analyyttistä geometriaa12 p · MAA41. Määritä janan AB keskipiste, kun A=(5, 5) ja B=(-2, 32). (4 p.) 2. Ratkaise yhtälö |3x+4| = 5. (4 p.) 3. Määritä ympyrän x^2+y^2+2x - 8 = 0 keskipiste ja säde. (4 p.)
  3. 3. Integraalilaskuja12 p · MAA71. Määritä ∫ (-2x^2+6x-4) dx. (4 p.) 2. Määritä käyrien y = (x-1)(3-x) ja y = (x-1)^2 väliin jäävän rajoitetun alueen pinta-ala. (8 p.)
  4. 4. Vähän ykköstä pienemmät luvut12 p · MAY11. Kumpi murtoluvuista A=(333 333 331)/(333 333 334) ja B=(222 222 221)/(222 222 223) on suurempi? (3 p.) 2. Kumpi murtoluvuista C= 333 3^2022 kpl 1 333 32022 kpl 4 ja D= 222 2^2022 kpl 1 222 22022 kpl 3 on suurempi?…

B1-osa

  1. 5. Avaruuden vektoreita12 p · MAA10Tarkastellaan vektoreita a = i + 2 j + 3 k ja b = 3 i + 2 j + k. 1. Laske a- b. (3 p.) 2. Laske a · b. (3 p.) 3. Sijaitseeko piste (4, 6, 8) vektorin a suuntaisella origon kautta kulkevalla suoralla? (6 p.)
  2. 6. Havainnot hypotenuusan pituudesta12 p · MAA3Okku on tutkinut GeoGebraa käyttämällä suorakulmaisten kolmioiden sivujen pituuksia ja havainnut, että 1. hypotenuusa on aina pidempi kuin kateetit (6 p.) 2. hypotenuusan pituus on aina pienempi kuin kateettien…
  3. 7. Pienet ja suuret kuutiot12 p · MAA11Keskenään samankokoisista 99 pienestä punaisesta kuutiosta kootaan kolme suurta kuutiota, joissa on 8, 27 ja 64 osaa. Näiden kolmen suuren kuution sivut maalataan sinisiksi. Maalaamisen jälkeen suuret kuutiot puretaan…
  4. 8. Kokonaislukuratkaisuja12 p · MAA11Määritä yhtälön x^6+2x^3y^3+y^6=4225 kaikki kokonaislukuratkaisut, kun x>0 ja y>0.
  5. 9. Neljännen asteen polynomiperhe12 p · MAA6Tarkastellaan polynomia f(x) = x^4 + a x^2 + bx + c, kun a > 0 ja x∈ R. 1. Osoita, että derivaatta f' on aidosti kasvava funktio. (4 p.) 2. Osoita, että yhtälöllä f(x) = 0 on korkeintaan kaksi erisuurta reaalijuurta.…

B2-osa

  1. 10. Lukupeli12 p · MAA11Aaro ja Siiri pelaavat itse keksimäänsä lukupeliä. He kirjoittavat vuorotellen paperille jonkin luvun 1, 2, , 10. Sellaista lukua ei saa kirjoittaa, joka on paperille jo kirjoitetun luvun tekijä. Pelin häviää se, joka…
  2. 11. Numeerinen integrointi12 p · MAA7Positiivisen funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaa voidaan arvioida puolisuunnikassäännön avulla laskemalla yhteen puolisuunnikkaiden pinta-aloja. Jakoväliä [xk, xk+1] vastaa puolisuunnikas,…
  3. 12. Trigonometrinen summa12 p · MAA51. Olkoon 0≤ a≤ (π)/(2). Osoita, että a+ ((π)/(2)-a ) ≤ 2 ((π)/(4) ). (4 p.) 2. Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Osoita, että Σk=0^n ((π)/(2n)k ) = (1)/(2)Σk=0^n ( ((π)/(2n)k )+ ((π)/(2n)(n-k) ) ). (4 p.) 3. Olkoon…
  4. 13. Derivaatan määritelmä12 p · MAA61. Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona. Esitä derivaatan määritelmän geometrinen tulkinta funktion f(x)= x avulla pisteessä x=2. (4 p.) 2. Osoita derivaatan määritelmän avulla, että funktion f(x)= x…