Lukupeli · 2022 · syksy

Aaro ja Siiri pelaavat itse keksimäänsä lukupeliä. He kirjoittavat vuorotellen paperille jonkin luvun $1, 2, \ldots, 10$. Sellaista lukua ei saa kirjoittaa, joka on paperille jo kirjoitetun luvun tekijä. Pelin häviää se, joka ei voi kirjoittaa uutta lukua paperille. 1. Aaro aloittaa pelin kirjoittamalla paperille luvun $8.$ Mitkä ovat ne luvut, jotka Siiri voi tämän jälkeen seuraavalla vuorollaan kirjoittaa? (3 p.) 2. Anna esimerkki siitä, miten Aaron luvulla $8$ aloittama peli voisi edetä loppuun. Tässä riittää, kun annat kirjoitettavat luvut järjestyksessä ilman perusteluja. (3 p.) 3. Kun Siiri saa aloittaa pelin, hänellä on seuraava strategia: - Aloita kirjoittamalla paperille luku $6.$ - Muodosta parit $(4, 5),$ $(7, 9)$ ja $(8, 10)$. Kun vastapelaaja kirjoittaa oman lukunsa, niin kirjoita tämän luvun pari. Jatka näin pelin loppuun asti. Pelikierros voi siis edetä esimerkiksi näin: Siiri kirjoittaa luvun $6.$ Aaro kirjoittaa paperille luvun $7,$ jolloin Siiri kirjoittaa luvun $9.$ Aaro kirjoittaa paperille luvun $10,$ jolloin Siiri kirjoittaa paperille luvun $8$ ja voittaa pelin. Siiri pelaa strategiansa mukaisesti ja aloittaa pelin kirjoittamalla paperille luvun $6.$ Aaro kirjoittaa paperille luvun $a,$ sitten Siiri kirjoittaa paperille luvun $b,$ jonka jälkeen Aaro kirjoittaa luvun $c.$ Nyt Siiri kirjoittaa paperille luvun $9,$ mutta ei vielä voita peliä. Mitkä ovat eri vaihtoehdot luvuiksi $a,$ $b$ ja $c$? (6 p.)