Trigonometrinen summa · 2022 · syksy

1. Olkoon $0\leq a\leq \frac{\pi}{2}.$ Osoita, että $$\sin a+\sin \left(\frac{\pi}{2}-a\right) \leq 2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right).$$ (4 p.) 2. Olkoon $n$ positiivinen kokonaisluku. Osoita, että $$\sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right) = \frac{1}{2}\sum_{k=0}^n\left(\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2n}(n-k)\right)\right).$$ (4 p.) 3. Olkoon $n$ positiivinen kokonaisluku. Osoita, että $$\sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right)\leq \frac{n+1}{\sqrt{2}}.$$ (4 p.)