Numeerinen integrointi · 2022 · syksy

Positiivisen funktion $f$ kuvaajan ja $x$-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaa voidaan arvioida puolisuunnikassäännön avulla laskemalla yhteen puolisuunnikkaiden pinta-aloja. Jakoväliä $[x_k, x_{k+1}]$ vastaa puolisuunnikas, jonka kärkipisteet ovat $(x_k, 0),$ $(x_k, f(x_k)),$ $(x_{k+1}, f(x_{k+1}))$ ja $(x_{k+1}, 0).$ Huomaa, että jakovälien ei tarvitse olla yhtä pitkiä. Tarkastellaan funktion $f(x)=\sin(3x^2)+2$ kuvaajan ja $x$-akselin väliin jäävää pinta-alaa $A$ välillä $1\leq x\leq 3.$ Arvioidaan pinta-alaa puolisuunnikassäännön avulla käyttäen jakopisteitä $1,$ $\frac32,$ $2$ ja $3.$ 1. Piirrä funktion $f$ kuvaaja ja edellä annetun jaon tuottamat puolisuunnikkaat. (3 p.) 2. Pinta-alan kuusidesimaalinen likiarvo on $A\approx 3{,}862\,059.$ Arvioidaan pinta-alaa puolisuunnikassäännön avulla käyttäen edellä annettua jakoa. Laske puolisuunnikkaiden pinta-alat, koko puolisuunnikasmenetelmän antama pinta-ala $A'$ sekä absoluuttinen virhe $|A'-A|.$ (7 p.) 3. Millä tavalla edellisessä osatehtävässä käytetyn menetelmän tarkkuutta voidaan parantaa? (2 p.)