Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · KEVÄT 2021

Pitkä matematiikka, kevät 2021

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2021 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Lukujonoja ja funktioita12 p · MAY1Oikea vastaus 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p. 1.1 Lukujono \((1,2,4,7,\ldots)\). (2 p.) 1.2 Lukujono \((32,16,8,4,\ldots)\). (2 p.) 1.3 Lukujono \((7,9,11,13,\ldots)\). (2 p.) Valitse kohdissa 1.1–1.3: voi…
  2. 2. Vektoreita ja analyyttistä geometriaa12 p · MAA4Olkoon \(\vec u=5\vec i+12\vec j\). 1. Määritä vektorin \(\vec u\) pituus. (3 p.) 2. Määritä vektorin \(\vec u\) kanssa vastakkaissuuntainen vektori, jonka pituus on 5. (3 p.) 3. Suora \(L\) kulkee pisteiden…
  3. 3. Murtolausekkeen integraali12 p · MAA7Jokaisesta osatehtävästä voi saada 4 pistettä. 1. Osoita, että yhtälö \[\frac{4}{4-x^2}=\frac{1}{2+x}+\frac{1}{2-x}\] on voimassa kaikilla \(x\ne\pm2\). 2. Laske integraali \[\int{-1}^{1}\frac{1}{2+x}\,dx.\] 3. Laske…
  4. 4. Peräaalto12 p · MAA61. Osoita, että funktion \[f(x)=\frac{\tan x}{2+\tan^2x}\] suurin arvo \(M\) välillä \(0\le x<\frac{\pi}{2}\) on \(M=\frac{\sqrt2}{4}\approx0{,}3536\). Funktion kuvaaja on esitetty kuvassa 4.A. (9 p.) 2. Veden pinnalla…

B1-osa

  1. 5. Rantatontti12 p · MAA6Matti omistaa järven rannalla suorakulmaisen kolmion muotoisen metsäpalstan, jonka kateettien pituudet ovat 150 m ja 120 m. Pidempi kateetti on suoralla rantaviivalla. Matti myy palstastaan Marjalle pinta-alaltaan…
  2. 6. Kellarimestarin suunnitelma12 p · MAA3Eräitä juomia ja maustekastikkeita kypsytetään puisissa astioissa, jolloin niihin liukenee astian seinämästä makuaineita. Kellarimestarilla on teoria, jonka mukaan säilytysaikana nesteeseen liukenevien makuaineiden…
  3. 7. Afrikan tähti12 p · MAA8Aineisto 7.A Kuva: Afrikan tähti Liisa pelaa Afrikan tähti -peliä. Hän on löytänyt Afrikan tähden ja on palaamassa Kairoon voittaakseen pelin (aineisto 7.A). Hän on neljän askeleen päässä Kairosta. Kairoon saa…
  4. 8. Pinta-alan arviointi simuloinnilla12 p · MAA8Tasojoukon \(A\) pisteet \((x,y)\) määräytyvät epäyhtälöistä \(0\le x\le2\), \(0\le y\le4\) ja \(y\ge x^2\). Tässä tehtävässä on tarkoitus arvioida joukon \(A\) pinta-alaa simulaation avulla käyttämällä sitä tietoa,…
  5. 9. Paloittain määritelty funktio12 p · MAA6Funktio \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) määritellään kaavalla \[f(x)=\begin{cases}x^3+1,&x\le0,\\(ax+1)^2+a(1-a),&x>0.\end{cases}\] 1. Selvitä, millä parametrin \(a\in\mathbb R\) arvoilla \(f\) on kaikkialla jatkuva. (6…

B2-osa

  1. 10. Matemaattista tekstiä12 p · MAA11Aineisto 10.A Teksti: Matematiikan tekstipätkiä Matemaattinen teksti rakentuu mm. käsitteiden määritelmistä, yleisesti pätevistä tuloksista (lauseet), tulosten todistuksista ja erikoistapauksiin sovelletuista laskuista…
  2. 11. Kokonaislukuja12 p · MAA111. Kumpi luvuista \[99^{100^{101}}\quad\text{ja}\quad101^{100^{99}}\] on suurempi? (4 p.) 2. Lukujono \((an)\) määritellään rekursiivisesti kaavoilla \(a1=1\), \(a{2n}=an\) ja \(a{2n+1}=1-an\), kun \(n=1,2,3,\ldots\).…
  3. 12. Piilotetut pallot12 p · MAA10Pöydällä on kolme 3-säteistä palloa, joista kukin pallo koskettaa kahta muuta. Pallot yritetään peittää puolipallon muotoisella kuvulla, jonka säde on \(R\). Kupu on kuitenkin liian pieni, jolloin sen reuna jää joka…
  4. 13. Polynomien esitysmuodot12 p · MAA2Olkoot \(n\ge1\) kokonaisluku ja \(\alphai\in\mathbb R\), \(\alphai\ne0\), kaikille kokonaisluvuille \(0\le i\le n\). Tutkitaan polynomeja…