Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · SYKSY 2014

Pitkä matematiikka, syksy 2014

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2014 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAY1a) Ratkaise yhtälö (x-2)(x-3)=6. b) Missä pisteessä paraabelit y=x^2+x+1 ja y=x^2+2x+3 leikkaavat? c) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat seuraavan ehdon: Luvun ja sen käänteisluvun keskiarvo on 4.
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAY1a) Määritä suorien 2x+3y=7 ja 3x-2y=4 leikkauspiste. b) Luku on yhtä suuri kuin puolet sen neliöjuuresta. Määritä kaikki tällaiset luvut. c) Sievennä lauseke ( 13x^2 )+ 3+2 x, kun x>0.
  3. 4. Tehtävä 412 p · MAA2Paraabelin y=x^2 jokaista pistettä siirretään vektorin v verran. Määritä näin syntyvän käyrän yhtälö muodossa y=f(x), kun a) v=2 j b) v=3 i c) v=3 i+2 j.
  4. 5. Tehtävä 512 p · MAA7Käyrä y= x, -π≤ x≤π, pyörähtää x-akselin ympäri. Laske näin syntyvän tiimalasia muistuttavan kappaleen tilavuuden tarkka arvo.
  5. 8. Tehtävä 812 p · MAA11Tarkastellaan lukujonoja (an) ja (bn), joiden kaikki termit an ja bn, n=1,2, , ovat positiivisia. a) Oletetaan, että jono (an) on geometrinen. Osoita, että an=√an-1an+1 kaikilla n=2,3, b) Oletetaan, että bn=√bn-1bn+1…
  6. 12. Tehtävä 1212 p · MAA11Olkoon R reaalilukujen joukko ja N=\0,1,2, \ luonnollisten lukujen joukko. Onko seuraava väite tosi vai epätosi? Perustele vastauksesi. a) x∈ R y∈ R: x≤ y b) y∈ R x∈ R: x≤ y c) x∈ N y∈ N: x≤ y

B1-osa

  1. 3. Tehtävä 312 p · MAA5a) Pekka aloittaa kuumeen mittaamisen ajanhetkellä t=0. Pekan käyttämän mittarin lukema f(t) hetkellä t minuuttia saadaan kaavasta f(t)=38-2e^-0,6t celsiusastetta. Kuinka kauan mittausta pitää jatkaa, jotta tulos…
  2. 6. Tehtävä 612 p · MAA6Tarkastellaan paraabelin kaarta y=3x-5x^2, kun 0≤ x≤ 12. Mikä kaaren piste on kauimpana origosta? Perustele vastauksesi myös muulla tavalla kuin laskimella, esim. derivaatan avulla.
  3. 7. Tehtävä 712 p · MAA12Pakkausautomaatti täyttää kahvipaketteja. Kahvin määrä on normaalijakautunut, keskihajonta on 10 grammaa, mutta odotusarvoa voidaan säätää. Mikä pitäisi säätää odotusarvoksi, kun tavoitteena on valmistaa paketteja,…
  4. 9. Tehtävä 912 p · MAA5Arkkitehti Eero Saarisen suunnittelema Gateway Arch Saint Louisissa USA:ssa rakennettiin vuosina 1963–1965. Kaaren muotoa kuvaa yhtälö y=-39f ( x39 )+231. Tässä f(t)= 12 (e^t+e^-t ), x-akseli kulkee maan pinnalla…
  5. 10. Tehtävä 1012 p · MAA4Olkoon A=(1, 0), B=(0, -1) ja t>1. Piste T=(t, 0) keskipisteenä piirretään ympyrä, joka leikkaa yksikköympyrän x^2+y^2=1 kohtisuorasti kuvion mukaisessa pisteessä C sekä janan OA pisteessä D. a) Määritä pisteen C…
  6. 11. Tehtävä 1112 p · MAA6a) Osoita, että funktio f(x)=(e^x)/(1+e^x) on aidosti kasvava, kun x∈ R. b) Määritä funktion f(x) raja-arvo, kun x kasvaa rajatta. c) Päteekö kaikilla x≥10 epäyhtälö f(x)≥0,999?
  7. 13. Tehtävä 1312 p · MAA11Tarkastellaan yhtälöä x^5-x=1. a) Osoita, että yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu välillä 1≤ x≤2. b) Määritä a-kohdan ratkaisulle Newtonin menetelmän mukainen likiarvo x4 käyttämällä alkuarvoa x0=1. Anna vastaus…

B2-osa

  1. 14. Tehtävä 1412 p · MAA3Tarkastellaan ympyrää ja sen ulkopuolella olevaa pistettä P. a) Pisteestä P piirretään kaksi suoraa, jotka leikkaavat ympyrän neljässä eri pisteessä A, B, C ja D kuvion mukaisesti. Osoita, että kolmiot PCB ja PAD ovat…
  2. 15. Tehtävä 1512 p · MAA11a) Osoita, että xy≤ 12 (x^2+y^2 ) kaikille reaaliluvuille x ja y. (3 p.) b) Olkoot a1, ,an ja b1, ,bn reaalilukuja. Oletetaan, että A=√a1^2+ +an^2>0, B=√b1^2+ +bn^2>0, ja merkitään lisäksi xk= akA ja yk= bkB, kun k=1,…