Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · KEVÄT 2015

Pitkä matematiikka, kevät 2015

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2015 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 4. Tehtävä 412 p · MAA2Tarkastellaan yhtälöä t^4x^2+(t^2+1)x+1=0 parametrin t≠0 eri arvoilla. a) Ratkaise yhtälö, kun t=1. b) Määritä kaikki ne parametrin t≠0 arvot, joilla yhtälöllä on ainakin yksi ratkaisu x∈ R.
  2. 5. Tehtävä 512 p · MAA4Olkoot A=(-2, 2), B=(3, 1), C=(-2, 3) ja D=(1, -1). Laske janojen AB ja CD leikkauspisteen koordinaattien tarkat arvot.

B1-osa

  1. 3. Tehtävä 312 p · MAY1Vieraita kieliä äidinkielenään puhuvien Helsingin asukkaiden lukumäärä kasvoi vuosittain 7,5 prosenttia aikavälillä 2003–2013. Vuonna 2013 arvioitiin, että vuosina 2013–2033 kyseessä oleva lukumäärä vielä…
  2. 6. Tehtävä 612 p · MAA12Oletetaan, että väestön älykkyysosamäärä noudattaa normaalijakaumaa N(100, 15). Määritä odotusarvon 100 ympäriltä symmetrinen väli, johon kuuluu täsmälleen puolet väestöstä.
  3. 7. Tehtävä 712 p · MAA5a) Millä muuttujan x arvoilla lauseke ( x) on määritelty? Muuttuja x on ilmaistu radiaaneina. b) Määritä kaksidesimaaliset likiarvot yhtälön | ( x)|=2 kaikille ratkaisuille välillä 0<x<10.
  4. 8. Tehtävä 812 p · MAA10Öljysäiliö on suoran ympyrälieriön muotoinen, ja sen akseli on vaakasuorassa. Akselia vastaan kohtisuoran poikkileikkauksen halkaisija on 1,3 metriä. a) Määritä säiliön pituus, kun sen tilavuus on 3 000 litraa. b)…
  5. 9. Tehtävä 912 p · MAA6Suoran ympyräkartion muotoista telttaa varten on varattu 16 neliömetriä kangasta. Kangasta ei käytetä teltan pohjaan. Määritä pohjaympyrän halkaisija silloin, kun teltan tilavuus on suurin mahdollinen.
  6. 10. Tehtävä 1012 p · MAA7Olkoon a>0. Funktion f(x)=a√ x kuvaaja y=f(x) pyörähtää x-akselin ympäri välillä [0, 1], jolloin syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus on 2π. Määritä tämän pyörähdyskappaleen vaipan pinta-ala kaavalla…
  7. 12. Tehtävä 1212 p · MAA11Italialainen Fibonacci laski vuonna 1225 yhtälön x^3+2x^2+10x-20=0 juurelle likiarvon x≈1,368808108. a) Osoita, että yhtälöllä on täsmälleen yksi juuri reaalilukujen joukossa. b) Kuinka mones Newtonin menetelmän…

B2-osa

  1. 11. Tehtävä 1112 p · MAA11Osoita, että 7-järjestelmässä ilmaistu luku a5 7^5+a4 7^4+a3 7^3+a2 7^2+a1 7+a0 on jaollinen luvulla 6 täsmälleen silloin, kun numeroiden summa a5+a4+a3+a2+a1+a0 on jaollinen luvulla 6. Tässä a5, a4, a3, a2, a1, a0∈\0,…
  2. 13. Tehtävä 1312 p · MAA12a) Osoita erotusosamäärää tutkimalla, että funktio f(x)=(x)/(1+|x|) on derivoituva kohdassa x=0. b) Olkoon g(x)=f'(x), kun x∈ R. Osoita erotusosamäärää tutkimalla, ettei funktio g(x) ole derivoituva kohdassa x=0.
  3. 14. Tehtävä 1412 p · MAA8Koirien kaksipäiväiseen HeinäHaukku-tapahtumaan ilmoittaudutaan joko lauantainäyttelyyn, sunnuntainäyttelyyn tai molempiin. Eräänä vuonna HeinäHaukkuun ilmoitettiin 1 372 koiraa, joista 31 ilmoitettiin vain…
  4. 15. Tehtävä 1512 p · MAA11Tarkastellaan summaa Σk=1^n 1k(k+1). a) Laske summat, kun n=1, 2, , 5, ja muodosta niiden perusteella arvaus summan arvolle ylärajan n funktiona. (3 p.) b) Määritä sellaiset kertoimet A∈ R ja B∈ R, että kaava 1k(k+1)=…