Tehtävä 15 · 2014 · syksy

a) Osoita, että $xy\le\frac12\left(x^2+y^2\right)$ kaikille reaaliluvuille $x$ ja $y$. (3 p.) b) Olkoot $a_1,\ldots,a_n$ ja $b_1,\ldots,b_n$ reaalilukuja. Oletetaan, että $A=\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}>0$, $B=\sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}>0$, ja merkitään lisäksi $x_k=\frac{a_k}A$ ja $y_k=\frac{b_k}B$, kun $k=1,\ldots,n$. Osoita a-kohdan avulla, että $x_1y_1+\cdots+x_ny_n\le1$. (5 p.) c) Johda b-kohdan avulla *Cauchyn epäyhtälö* $$a_1b_1+\cdots+a_nb_n\le\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}\,\sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}.$$ (4 p.)