Tehtävä 14 · 2014 · syksy

Tarkastellaan ympyrää ja sen ulkopuolella olevaa pistettä $P$. a) Pisteestä $P$ piirretään kaksi suoraa, jotka leikkaavat ympyrän neljässä eri pisteessä $A$, $B$, $C$ ja $D$ kuvion mukaisesti. Osoita, että kolmiot $PCB$ ja $PAD$ ovat yhdenmuotoiset. (2 p.)b) Osoita, että $PA\cdot PB=PC\cdot PD$. (3 p.) c) Erikoistapauksessa $A=B$ toinen suorista sivuaa ympyrää. Osoita, että tällöin pätee $(PA)^2=PC\cdot PD$. (3 p.)d) Todista edellisten kohtien avulla Pythagoraan lause tutkimalla alla olevan kuvion kolmiota, jonka kärki $K$ on ympyrän keskipisteessä ja kärki $A$ on ympyrän kehällä. (4 p.)