Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · KEVÄT 2014

Pitkä matematiikka, kevät 2014

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2014 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAY1a) Ratkaise yhtälö 7(x-3)+1=x^2-1- (x^2-1 ). b) Millä muuttujan x arvoilla lauseke x(5-8x) saa positiivisia arvoja? c) Sievennä lauseke (a^2-b^2)/(a-b)+(a^2-b^2)/(a+b), kun a≠ b ja a≠-b.
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAA6Taulukon ylärivissä ovat funktioiden f(x), g(x) ja h(x) kuvaajat. Alemmassa rivissä on viiden eri funktion kuvaajat. Näiden joukossa ovat myös derivaattafunktioiden f'(x), g'(x) ja h'(x) kuvaajat. Valitse kullekin…
  3. 4. Tehtävä 412 p · MAA2Millä vakion a arvoilla yhtälöllä ax^2-5x+2=0 on täsmälleen yksi juuri?
  4. 6. Tehtävä 612 p · MAA6Olkoot a1,a2, ,an reaalilukuja. Millä muuttujan x arvolla summa (x-a1)^2+ +(x-an)^2 on mahdollisimman pieni?
  5. 7. Tehtävä 712 p · MAA8Säännöllisen tetraedrin muotoista noppaa heittämällä voi saada silmäluvuksi 1, 2, 3 tai 4. Nämä ovat kaikki yhtä todennäköisiä. Pelaaja heittää yhtä aikaa tetraedrin muotoista ja tavallista noppaa ja laskee…

B1-osa

  1. 3. Tehtävä 312 p · MAA7a) Käyrät y=6x^2+3x^4+ 1x ja y=3x^4 sekä suorat x=1 ja x=2 rajaavat tasoalueen. Laske sen pinta-alan likiarvo kahden desimaalin tarkkuudella. b) Määritellään funktiot f(x)=x^3-3x ja g(x)= 12f(2x), kun x∈ R. Laske…
  2. 5. Tehtävä 512 p · MAA4Ympyrä sivuaa suoraa 3x-4y=0 pisteessä (8, 6). Lisäksi se sivuaa positiivista x-akselia. Määritä ympyrän keskipiste ja säde.
  3. 8. Tehtävä 812 p · MAA10Lasersäteellä osoitetaan pisteestä A(1, -2, 3) vektorin u=2 i- j-3 k suuntaan. Toisella säteellä osoitetaan pisteestä B(9, -1, -12) vektorin v=- i-2 j+3 k suuntaan. Näytä, että säteet leikkaavat toisensa, ja määritä…
  4. 9. Tehtävä 912 p · MAA10Taso x+2y+3z=6 leikkaa positiiviset koordinaattiakselit pisteissä A, B ja C. a) Määritä sen tetraedrin tilavuus, jonka kärjet ovat origossa O sekä pisteissä A, B ja C. b) Määritä kolmion ABC pinta-ala.
  5. 10. Tehtävä 1012 p · MAA7Juustoa myydään suoran ympyrälieriön muotoisessa pakkauksessa. Lieriön korkeus on h ja sen pohjan säde on r. Juusto leikataan ensin pystysuorassa suunnassa kahteen yhtä suureen osaan. Toisesta puolikkaasta leikataan…
  6. 11. Tehtävä 1112 p · MAA7Alla on funktion f derivaattafunktion kuvaaja y=f'(x). Lisäksi funktio f toteuttaa ehdon f(0)=0. a) Kirjoita derivaatan f'(x) lauseke paloittain määriteltynä funktiona välillä 0≤ x≤4. b) Muodosta funktion f(x) lauseke…
  7. 13. Tehtävä 1312 p · MAA11Tarkastellaan positiivisia kokonaislukuja n ja k, joille n+(n+1)+(n+2)+ +(n+k)=1007. a) Osoita, että tällaiset luvut n ja k toteuttavat yhtälön (k+1)(2n+k)=2014. b) Määritä luvun 2014 kaikki alkutekijät. c) Määritä…

B2-osa

  1. 15. Tehtävä 1512 p · MAA7Välillä [-1, 1] jatkuvien funktioiden f ja g skalaaritulo fg määritellään kaavalla fg=∫-1^1f(x)g(x) dx. Funktiot ovat ortogonaaliset, jos fg=0. a) Määritellään f0(x)=1, f1(x)=x ja f2(x)=x^2, kun x∈[-1,1]. Niiden avulla…