YO-KOE · SYKSY 2024

Pitkä matematiikka, syksy 2024

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2024 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

1. Peruslaskuja12 p · MAY1Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen osatehtävän vastaus on kokonaisluku. 1.1 Laske. (2 p.) Juna lähtee Oulusta kello 9.48 ja on perillä…
2. Derivaattoja12 p · MAA6Valitse oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 3 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p. 2.1 Määritä luvun p'(1) tarkka arvo, kun p(x)=-2x^5+x^4-2. (3 p.) p'(1)= … 2.2 Määritä derivaatta…
3. Yhtälöt12 p · MAA5Ratkaise muuttujien x ja y tarkat arvot seuraavista yhtälöistä. 1. Yhtälö 4· 8^x = √ 2. (4 p.) 2. Yhtälö (6y- π2)=(1)/(2), kun y∈ [0,(π)/(2)]. (8 p.)
4. Integraali12 p · MAA7Funktion f:[0, ∞)→ [0, ∞) arvo f(x) on luvun x kokonaislukuosa. Esimerkiksi f(1)=1, f( 115)=2 ja f(π)=3. Laske ∫0^10 f(x) dx.
5. Summan arviointi12 p · MAA111. Osoita, että (k-1)/(k2^k+1)<(1)/(2^k) kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla k. (4 p.) 2. Osoita, että Σk=2^n(k-1)/(k2^k+1)<(1)/(2) kaikilla kokonaisluvuilla n≥ 2. (8 p.)
6. Veteen putoava kivi12 p · MAA5Mallinnetaan veteen pudonneen kiven aiheuttamia aaltoja funktiolla f: R^2→ R, missä f(x,y)= (√x^2+y^2 )√x^2+y^2, kun (x,y)≠ (0,0), ja f(0,0)=1. 1. Etsi kaksi muuta pistettä, joissa funktion arvo on sama kuin pisteessä…