Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · KEVÄT 2025

Pitkä matematiikka, kevät 2025

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2025 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Perustehtäviä12 p · MAY1Anna tässä tehtävässä pelkkä vastaus ilman perusteluja. Vastauskenttään voi kirjoittaa vain yhden kokonaisluvun. 1.1 Ratkaise yhtälö 5x-17=43. (2 p.) x= … 1.2 Ratkaise potenssiyhtälö 2x^3-128=0. (2 p.) x= … 1.3…
  2. 2. Sievennyksiä12 p · MAA21. Sievennä lauseke ((y^2-4)(y+1))/(y-2), kun y≠ 2. (6 p.) 2. Sievennä lauseke √(z-1)^2+2(z-1)+1. (6 p.)
  3. 3. Suorakulmaiset kolmiot12 p · MAA3Suorakulmaisen kolmion ABC sivujen pituudet ovat |AB|=3, |AC|= 4 ja |BC|=5. Suorasta kulmasta A piirretään korkeusjana kohtisuoraan hypotenuusalle pisteeseen D. Pisteestä D piirretään edelleen kohtisuora jana…
  4. 4. EKP:n korkopäätös12 p · MAA9Euroopan keskuspankki (EKP) on päättämässä eräästä ohjauskorosta, jonka nykyinen taso on 4,25 %. Ryhmä taloustieteilijöitä ennustaa, että 0,25 prosenttiyksikön korotukselle on 50 %:n todennäköisyys ja ohjauskoron…
  5. 5. Suurin arvo12 p · MAA6Määritä funktion f(x)=x^2025e^-x suurin arvo, kun x≥ 0.
  6. 6. Eukleideen algoritmi12 p · MAA11Määritä Eukleideen algoritmilla lukujen 5322 ja 342 suurin yhteinen tekijä.

B1-osa

  1. 7. Merkki- ja kulkukaaviot12 p · MAA6Valitse osatehtävissä 7.1–7.6 funktiolle oikea merkkikaavio tai kulkukaavio kuvan 7.A vaihtoehdoista A–H. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p. 7.1 f(x) = x^2 + 2x…
  2. 8. Janojen pituudet12 p · MAA4Tasossa on pisteet A=(-6,-1), B=(-1,11) ja C=(8,-1). Valitaan piste X janalta AB, piste Y janalta BC ja piste Z janalta AC niin, että |AX|=|AZ|=a, |BX|=|BY|=b ja |CZ|=|CY|=c. Muodosta yhtälöryhmä luvuille a, b ja c, ja…
  3. 9. Afrikan tähti12 p · MAA8Afrikan tähti -pelissä on 30 pahvikiekkoa: 12 tyhjää, 5 hevosenkenkää, 3 rosvoa, 4 keltaista topaasia, 3 vihreää smaragdia, 2 punaista rubiinia ja 1 Afrikan tähti -timantti. Pelin alussa kiekot sekoitetaan ja asetetaan…
  4. 10. Eksponenttijakauma12 p · MAA12Eksponenttijakaumaa voi käyttää esimerkiksi hiukkassäteilyn tai asiakasvirtojen mallintamiseen. Jakauman tiheysfunktio (vakiolla λ>0) on fλ (x) = cases λ e^-λ x, & kun x≥ 0,\ 0 & muuten. cases Satunnaismuuttuja X…

B2-osa

  1. 11. Oikein vai väärin?12 p · MAA61. Olivia derivoi funktion f(x)=(x^3-2x+1)/(10) seuraavasti: f'(x)=(10D(x^3-2x+1)-(D 10)(x^3-2x+1))/(10^2)=(10D(x^3-2x+1))/(10^2)=(3x^2-2)/(10). Onko päättely oikein vai väärin? Korjaa mahdolliset virheet. Johda…
  2. 12. Arvioitava integraali12 p · MAA12Olkoon n≥ 0 kokonaisluku. Todista epäyhtälö ∫0^1 (π x) (x(1+x)(1-x))^n dx ≤ (2)/(π)· ((2)/(3√ 3) )^n. Vihje: Jos f(x)≤ g(x) välillä [0,1], niin ∫0^1f(x) dx ≤∫0^1 g(x) dx.
  3. 13. Vektorien ristitulo12 p · MAA10Vektorien a=ax i+ay j+az kja b=bx i+by j+bz k ristitulo määritellään lausekkeella a· b=(aybz-azby) i+(azbx-axbz) j+(axby-aybx) k. Todista tätä lauseketta käyttäen seuraavat ristitulovektorin tunnetut ominaisuudet: 1.…