Epäjatkuva funktio · 2024 · syksy

Olkoon $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R},$ $$f(x)=\begin{cases} 3x-5, &\text{kun } x\leq 1,\\ x^2+x-2,&\text{kun }x>1. \end{cases}$$ Jalmari on osoittanut seuraavalla tavalla, että $f'(1)=3.$ Lasketaan funktion $f$ erotusosamäärän toispuoleiset raja-arvot kohdassa $x=1.$ Tällöin $$\lim_{x\to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1-} \frac{3x-5-(3\cdot1-5)}{x-1}=\lim_{x\to 1-} \frac{3x-3}{x-1}=\lim_{x\to 1-} \frac{3(x-1)}{x-1}=3$$ ja $$\begin{aligned} \lim_{x\to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}&=\lim_{x\to 1+} \frac{x^2+x-2-(1^2+1-2)}{x-1}=\lim_{x\to 1+} \frac{x^2+x-2}{x-1}\\ &=\lim_{x\to 1+} \frac{(x-1)(x+2)}{x-1}=\lim_{x\to 1+}(x+2)=3. \end{aligned}$$ Koska erotusosamäärän toispuoleiset raja-arvot ovat yhtä suuret ja niiden yhteinen arvo on 3, niin funktio $f$ on derivoituva kohdassa $x=1$ ja $f'(1)=3.$ 1. Osoita, että $f$ ei ole jatkuva kohdassa $x=1.$ Miksi tämä on ristiriidassa Jalmarin tuloksen kanssa? Minkä virheen Jalmari tekee todistuksessaan? (6 p.) 2. Osoita, että $f$ on monotoninen joukossa $\mathbf R.$ (6 p.)