YO-KOE · SYKSY 2020
Pitkä matematiikka, syksy 2020
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2020 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.
A-osa
- 1. Yhtälöitä12 p · MAY1Oikea vastaus 3 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p. 1.1 Millä luvun x arvolla yhtälö x+12+ 2x-14= x2 on tosi? (3 p.) x = … 1.2 Millä vakion a arvolla yhtälö (x+a)(x-a)=x^2-81 on tosi kaikilla reaaliluvuilla x? (3…
- 2. Kuusi pientä tehtävää12 p · MAY1Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria, joten toinen potenssi x^2 kirjoitetaan…
- 3. Logistinen regressio12 p · MAA5Logistinen regressio on malli, jota käytetään esimerkiksi tutkittaessa riskiä sairastua erilaisiin sairauksiin, kuten esimerkiksi sepelvaltimotautiin. Logistisessa regressiossa y riippuu muuttujasta x yhtälön (y)/(1-y)…
- 4. Käyrän tangentteja12 p · MAA6Käyrällä y=x^3-5x^2+2x+8=(x-4)(x-2)(x+1) on kaksi tangenttia, jotka kulkevat pisteen (2,0) kautta. Määritä niiden yhtälöt. Vihje: Käyrän tangentti pisteessä (2,0) antaa toisen kysytyistä yhtälöistä.
B1-osa
- 5. Kolmiot12 p · MAA3Suorakulmaiset kolmiot ABC ja DEF leikkaavat toisiaan kuvan 5. A mukaisesti. Kolmioiden kateettien pituudet ovat AB=DF=4 ja BC=EF=3. Lisäksi janan BF pituus on 1. Määritä kolmioiden yhteisen osan pinta-ala.
- 6. Vesijohto12 p · MAA10Kolmiulotteinen koordinaatisto on valittu niin, että maanpinta on xy-tasossa ja pituusyksikkönä on metri. Maan alla oleva vesijohto kulkee pisteestä (0,0,-2) vektorin 3 i + 4 j suuntaan yhteensä 3 metriä. Sen jälkeen…
- 7. Koripalloilijan vapaaheitot12 p · MAA8Pitkäaikaisten tilastojen perusteella erään koripalloilijan todennäköisyys heittää pallo vapaaheitolla koriin on p (0 ≤ p ≤ 1). Rautahermoisena pelaajana hänen heittojensa onnistumistodennäköisyydet ovat riippumattomia…
- 8. Käyrien rajoittamat alueet12 p · MAA12Epäyhtälöt x≥ 1 ja 1x^n+1≤ y≤ 1x^n määrittävät tasoalueen, jonka pinta-alaa merkitään symbolilla An. Tässä n ≥ 2 on kokonaisluku. 1. Kirjoita lauseke pinta-alalle A2 ja laske sen arvo käyttämättä osatehtävässä 2…
- 9. Yhdistettyjä lukuja12 p · MAA11Osoita lukua 1 000 001! + 2 käyttämällä, että on olemassa miljoona peräkkäistä kokonaislukua, joista yksikään ei ole alkuluku.
B2-osa
- 10. Väitteitä12 p · MAA1210.1 Mikä väite tässä todistetaan? Oikea vastaus 3 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p. (3 p.) Koska align x→ a (f(x)-f(a) ) &= x→ a ((f(x)-f(a))/(x- a) )(x-a)\ &= x→ a(f(x)-f(a))/(x-a)· x→ a(x-a)\ &= f'(a)· 0=0,…
- 11. Trigonometriset yhtälöt12 p · MAA5Seuraavia yhtälöitä tarkastellaan vain muuttujan arvoilla x∈ [0,π]. 1. Ratkaise yhtälö x + x = 0. (2 p.) 2. Osoita, että yhtälöllä ( x)^2 + x x + ( x)^2 = 0 ei ole ratkaisua. (4 p.) 3. Selvitä perustellen yhtälön…
- 12. Kaarevuus12 p · MAA6Kaikki ympyrän normaalit leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka on ympyrän keskipiste. Tätä havaintoa voidaan käyttää muidenkin käyrien kaarevuussäteiden tutkimiseen seuraavalla tavalla, jossa esimerkkinä…
- 13. Pinta-ala-algoritmi12 p · MAA11Tason monikulmio voidaan esittää järjestettynä listana [(x1,y1), , (xn,yn)] kärkipisteitä niin, että monikulmion reuna saadaan yhdistämällä peräkkäiset kärkipisteet sekä ensimmäinen ja viimeinen kärkipiste janoilla.…