Polynomien esitysmuodot · 2021 · kevät

Olkoot $n\ge1$ kokonaisluku ja $\alpha_i\in\mathbb R$, $\alpha_i\ne0$, kaikille kokonaisluvuille $0\le i\le n$. Tutkitaan polynomeja $$P(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)=p_nx^n+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots+p_1x+p_0$$ ja $$Q(x)=\left(x-\frac1{\alpha_1}\right)\left(x-\frac1{\alpha_2}\right)\cdots\left(x-\frac1{\alpha_n}\right)=q_nx^n+q_{n-1}x^{n-1}+\cdots+q_1x+q_0.$$ Tässä siis kertoimet $p_i$ ja $q_i$ määräytyvät yhtälöiden perusteella annettujen lukujen $\alpha_j$ avulla. 1. Laske kaikki luvut $p_i$ ja $q_i$, kun $n=2$, $\alpha_1=2$ ja $\alpha_2=3$. (2 p.) 2. Ratkaise kaikki luvut $p_i$ ja $q_i$ lukujen $\alpha_1$ ja $\alpha_2$ avulla tapauksessa $n=2$. (4 p.) 3. Esitä luvut $q_i$ lukujen $p_j$ ($0\le i\le n$, $0\le j\le n$) avulla yleisessä tapauksessa. (6 p.)