Peräaalto · 2021 · kevät

1. Osoita, että funktion $$f(x)=\frac{\tan x}{2+\tan^2x}$$ suurin arvo $M$ välillä $0\le x<\frac{\pi}{2}$ on $M=\frac{\sqrt2}{4}\approx0{,}3536$. Funktion kuvaaja on esitetty kuvassa 4.A. (9 p.) 2. Veden pinnalla vakionopeudella liikkuvan kappaleen (kuten veneen tai sorsan) taakse muodostuu V-kirjaimen muotoinen peräaalto, jonka avautumiskulma ei tietyillä oletuksilla riipu kappaleen nopeudesta. Kelvinin aaltoteorian mukaan tälle kulmalle $\alpha$ on voimassa yhtälö $$\tan\frac{\alpha}{2}=M,$$ jossa $M$ on kohdassa 1 laskettu arvo. Määritä kulman $\alpha\in[0^\circ,180^\circ]$ likiarvo asteen tarkkuudella. (3 p.)