Kaarevuus · 2020 · syksy

Kaikki ympyrän normaalit leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka on ympyrän keskipiste. Tätä havaintoa voidaan käyttää muidenkin käyrien kaarevuussäteiden tutkimiseen seuraavalla tavalla, jossa esimerkkinä käytetään paraabelia $y=x^2$ ja sen pistettä $P$. Tavoitteena on löytää pisteen $P$ kautta kulkevan normaalin ja paraabelin muiden normaalien avulla keskipiste sellaiselle ympyrälle, joka sivuaa paraabelia mahdollisimman tarkasti pisteessä $P$. Tämä keskipiste on paraabelin kaarevuuskeskipiste (pisteen $P$ suhteen) ja sen etäisyys pisteestä $P$ on paraabelin kaarevuussäde (pisteessä $P$). 1. Paraabelin $y=x^2$ pisteeseen $(0,0)$ asetettu normaalisuora $Y$ yhtyy $y$-akseliin. Missä pisteessä $K(t)=(0,k(t))$ paraabelin pisteeseen $T(t)=(t,t^2)$ asetettu normaali leikkaa suoran $Y$, kun $t\neq 0$? Katso kuva 12. A. (4 p.) 2. Kun parametri $t$ lähestyy nollaa, niin piste $T(t)$ lähestyy origoa $(0,0)$. Samalla piste $K(t)$ lähestyy erästä pistettä $K(0)$, jonka etäisyyttä origosta kutsutaan paraabelin kaarevuussäteeksi origossa. Mikä on tämä kaarevuussäde? (2 p.) 3. Määritä vastaavaa menetelmää käyttämällä paraabelin $y=x^2$ kaarevuussäde pisteessä $(1,1)$. (6 p.)