Väitteitä · 2020 · syksy

10.1 Mikä väite tässä todistetaan? Oikea vastaus 3 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p. (3 p.) Koska $$\begin{align*} \lim_{x\to a}\left(f(x)-f(a)\right) &=\lim_{x\to a}\left(\frac{f(x)-f(a)}{x- a}\right)(x-a)\\ &=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot\lim_{x\to a}(x-a)\\ &= f'(a)\cdot 0=0, \end{align*}$$ niin $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a).$ 10.1 10.2 Mitkä väitteistä (a)–(g) pätevät yleisesti kaikille funktioille $f\colon \mathbf{R}\to\mathbf{R}$? Oikea vastaus 1 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p. (7 p.) (a) Jos funktio $f$ on jatkuva kohdassa $a$, niin se on derivoituva kohdassa $a$. 10.2a (b) Jos funktio $f$ on derivoituva kohdassa $a$, niin se on jatkuva kohdassa $a$. 10.2b (c) Funktio $f$ on jatkuva kohdassa $a$ täsmälleen silloin, kun se on derivoituva kohdassa $a$. 10.2c (d) Jos funktiolla $f$ on raja-arvo kohdassa $a$, niin se on jatkuva kohdassa $a$. 10.2d (e) Jos funktiolla $f$ on raja-arvo kohdassa $a$, niin se on derivoituva kohdassa $a$. 10.2e (f) Jos funktio $f$ on jatkuva kohdassa $a$, niin sillä on raja-arvo kohdassa $a$. 10.2f (g) Jos funktio $f$ on derivoituva kohdassa $a$, niin sillä on raja-arvo kohdassa $a$. 10.2g 10.3 Valitse väitteistä (a)–(g) kaksi väärää, ja osoita ne epätosiksi antamalla kummastakin esimerkkifunktio, joka todistaa väitteen vääräksi. Esimerkiksi riittää kummassakin kohdassa pelkkä funktion lauseke. (2 p.)