YO-KOE · KEVÄT 2020
Pitkä matematiikka, kevät 2020
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2020 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.
A-osa
- 1. Yhtälöt ja epäyhtälöt12 p · MAY1Tässä tehtävässä riittää pelkkä vastaus. Älä perustele tämän tehtävän vastauksia. Tässä tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria. Kunkin vastauksen enimmäispituus on 30 merkkiä. 1.1 Ratkaise yhtälö…
- 2. Vektorilaskuja12 p · MAA4Tutkitaan vektoreita a=7 i + 2 j ja b=-3 i + 5 j. Älä perustele tämän tehtävän vastauksia. Tässä tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria, joten i ja j kirjoitetaan muodossa i ja j. Kunkin…
- 3. Pinta-alan ääriarvo12 p · MAA71. Laske integraali ∫0^2 ( π2 x ) dx. (3 p.) 2. Funktion f(x)= ( π2 x ) kuvaajan ja x-akselin rajoittamasta alueesta leikataan pystysuora kaistale suorilla x=t ja x=t+ 12. Millä parametrin arvolla 0≤ t≤ 32 kaistaleen…
- 4. Suurin etäisyys12 p · MAA6Piste (x, y) toteuttaa epäyhtälön x^4 + y^2 ≤ 1. Määritä pisteen (x, y) suurin mahdollinen etäisyys origosta.
B1-osa
- 5. Kuvioita ympyrässä12 p · MAA3Ympyrän säde on 4. Sen sisälle piirretään kolme käyrää, jotka yhdistävät ympyrän vaakasuoran halkaisijan päätepisteet kuvion 5. A osoittamalla tavalla. Jokainen käyrä koostuu kahdesta puoliympyrän kaaresta, ja ne…
- 6. Paraabeli ja piste12 p · MAA6Tässä tehtävässä vastaukset voi antaa joko tarkkoina arvoina tai likiarvoina kahden desimaalin tarkkuudella. Tarkastellaan paraabelia y = x^2 ja pistettä A=(1, -1). 1. Mihin paraabelin pisteisiin piirretyt tangentit…
- 7. Yatzy12 p · MAA8Yatzy-noppapelissä pelaaja heittää viittä noppaa. Tutkitaan tarkemmin heittoja, joiden tuloksena saadaan täyskäsi tai neliluku yhdellä viiden nopan heitolla. Täyskädellä tarkoitetaan tulosta, jossa yksi silmäluku…
- 8. Polynomien jakoalgoritmi12 p · MAA11Polynomien jakoalgoritmilla voi jakaa esimerkiksi polynomin p(x)=x^6-4 x^4+2 x^3+7 x^2-3x+4 polynomilla q(x)=x^2-3 x+1. Tässä on suoritettu jakoalgoritmin ensimmäiset vaiheet: align p(x) & = x^4 q(x) +…
- 9. Käänteisfunktion derivaatta12 p · MAA12Anna esimerkki funktiosta f, jonka käänteisfunktion derivaatalle pätee (f^-1)'(2)= 12. Muista perustella, miksi esimerkilläsi on vaadittu ominaisuus.
B2-osa
- 10. Suuren luvun logaritmi12 p · MAA5Luvun a=1234 9101112 99100101 998999 kymmenjärjestelmäesitys saadaan kirjoittamalla luvut 1,2,3, ,998 ja 999 peräkkäin. 1. Millä kokonaisluvulla k pätee a≈ 1,23 · 10^k? (3 p.) 2. Määritä luvun a kokonaisosa. (9 p.)
- 11. Lukujono12 p · MAA11Olkoon a1=√2 ja an+1=√2+an, kun n≥ 1. 1. Osoita induktiolla, että jono (an) on kasvava. (4 p.) 2. Osoita induktiolla, että an< 2 kaikilla n≥ 1. (4 p.) 3. Määritä lausekkeen √2+√2+√2+ arvo tulkitsemalla se jonon (an)…
- 12. Geometrisen keskiarvon todennäköisyyksiä12 p · MAA8Kahden positiivisen luvun a ja b geometrinen keskiarvo on √ab. 1. Anna esimerkki välin 2–100 kahdesta eri kokonaisluvusta a ja b, joille √ab on kokonaisluku. (3 p.) 2. Satunnaislukugeneraattori arpoo toisistaan…
- 13. Trigonometrisiä epäyhtälöitä12 p · MAA6Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Tarkastellaan funktioita f(x)= ( xn ) ja g(x)=n x. Osoita, että yhtälön f(x)=g(x) ratkaisulle x0∈ [0, π2] pätee g'(x0) < -n+1.