YO-KOE · SYKSY 2019
Pitkä matematiikka, syksy 2019
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2019 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.
A-osa
- 1. Kolmio12 p · MAA3Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 350 ja 1 200. Kirjoita kohdissa 1.1.–1.3. pelkät vastausten lukuarvot annettuihin vastauskenttiin. Älä perustele tämän tehtävän vastauksia. Tässä tehtävässä ei voi…
- 2. Derivaatta ja integraali12 p · MAA7Määritä seuraavien funktioiden derivaattafunktiot tai integraalifunktiot ja kirjoita pelkät vastaukset annettuihin vastauskenttiin. Älä perustele tämän tehtävän vastauksia. 2.1. Kun f(x) = 4x + 3, niin f'(x) = . (3 p.)…
- 3. Pistetulo12 p · MAA4Määritä kaikki tason vektorit u, jotka toteuttavat ehdot ( (3)/(5) i + (4)/(5) j ) · u = 3 ja u · u = 25.
- 4. Eksponentti- ja trigonometriset funktiot12 p · MAA5Määritellään f(x)=e^ x, kun x∈ R. 4.1. Määritä funktion f(x) suurin ja pienin arvo. (6 p.) 4.2. Osoita, että f(x)≥ e^1 - x kaikilla 0≤ x≤ (π)/(2). (6 p.)
B1-osa
- 5. Polynomiepäyhtälö12 p · MAA2Ratkaise epäyhtälö x^3 - 2 x^2 - 11 x + 12≥ 0. Voit käyttää esimerkiksi laskinohjelmistoa. Selitä sanallisesti (enintään 1 000 merkillä), miten polynomifunktion tulomuotoa p(x) = (x-a) (x-b) (x-c) voidaan käyttää…
- 6. Kaksi paraabelia12 p · MAA4Anna esimerkki kahdesta paraabelista, joilla on täsmälleen yksi sivuamispiste; sivuamispiste ei saa olla kummankaan paraabelin huippupiste. Anna paraabelit muodossa y=a x^2 + bx + c.
- 7. Satunnaispolynomit12 p · MAA8Toisen asteen polynomissa x^2-nx+n esiintyvä luku n arvotaan heittämällä tavallista 6-sivuista noppaa ja polynomissa x^2-mx+m esiintyvä luku m arvotaan heittämällä 8-sivuista noppaa, jonka silmäluvut ovat 1, 2, ..., 8.…
- 8. Suuria lukuja12 p · MAA11Mitkä luvuista 111 111 111, 222 222 222 ja 333 333 333 ovat jaollisia yhdeksällä? Onko luku 111 111 111^111 111 111+222 222 222^222 222 222+333 333 333^333 333 333jaollinen yhdeksällä? Perustele vastauksesi.
- 9. Käänteisfunktio12 p · MAA5Tarkastellaan funktiota f R→ R, f(x)=(x)/(1+|x|) . 9.1. Osoita, että funktio f on aidosti kasvava, ja määritä sen arvojoukko tarkastelemalla raja-arvoja x→ -∞ f(x) ja x→ ∞ f(x). (6 p.) 9.2. Muodosta funktion f…
B2-osa
- 10. Pomppiva pallo12 p · MAA5Pomppivan pallon korkeutta lattiasta kuvaa tietokonepelissä funktio h(x) = (25 | (x)| )/(x+5), x ≥ 0,kun x on pallon vaakasuoraan kulkema matka ja h(x) on pallon korkeus metreinä. Kuinka moni pomppu on yli metrin…
- 11. Newtonin menetelmä12 p · MAA11Toisinaan Newtonin menetelmä ei suppene kohti haluttua nollakohtaa, vaan juuttuu kahden eri pisteen välille: on olemassa sellaiset pisteet a ja b, että a ≠ b, x2n-1=a ja x2n=b kaikille n≥ 1. Esitä tilanne graafisesti…
- 12. Summan arviointi12 p · MAA7Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Osoita, että (127)/(7)(n-1)^7≤ Σk=n^2n-1k^6≤ (127)/(7)n^7.Voit käyttää aineistoa 12.A tehtävän tilanteen hahmottamiseksi, mutta tämä ei ole välttämätöntä ratkaisun kannalta. Muista…
- 13. Joukon alkioiden summa12 p · MAA11Tarkastellaan joukkoja A1 = \0\, A2 = \1,2\, A3 = \3,4,5\, A4 = \6,7,8,9\, Joukossa Ak on siis k alkiota, jotka ovat peräkkäisiä kokonaislukuja ja joista pienin on yhtä suurempi kuin joukon Ak-1 suurin alkio. Joukon…