YO-KOE · KEVÄT 2019
Pitkä matematiikka, kevät 2019
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2019 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.
A-osa
- 1. Lukujonojen määritelmiä12 p · MAA11Yhdistä kukin lukujonon määritelmä 1.1.–1.6. siihen jonoon A–G, joka määritelmän perusteella saadaan. Kaikki jonot alkavat jäsenestä a1, ja yksi vastausjono jää käyttämättä. Vastauksia ei tarvitse perustella. Jonot: A.…
- 2. Vektorien pistetulo12 p · MAA4Määritä sellainen vektori c=a i +b j , että c · ( i + j )=2 ja c · ( i - j )=3.
- 3. Luonnollinen logaritmi12 p · MAA5Selvitä, kumpi lauseke on suurempi muuttujan arvoilla x>1: (2x+1)- (2x) vai (x+1)- x .
- 4. Lauseke kuvaajasta12 p · MAA2Kuvassa 4.A on esitetty muotoa f(x) = (ax^2+bx+c)/(2x + d) olevan funktion kuvaaja y=f(x), kun kertoimet a, b, c, ja d ovat kokonaislukuja. Päättele kuvaajan perusteella kertoimien arvot ja selitä sanallisesti, miten…
B1-osa
- 5. Paraabeleja pohjapiirroksessa12 p · MAA7Suomalais-amerikkalainen arkkitehtiopiskelijaryhmä rakensi Helsingin Seurasaareen Kalevalakehto-nimisen rakennuksen (aineisto 5.A). Tulos oli niin onnistunut, että on keskusteltu toisenkin samantapaisen rakennuksen…
- 6. Shakkilauta ja riisinjyvät12 p · MAA8Shakkilaudassa on 8 · 8 ruudukko ja sitä ympäröi 5 cm leveä harmaa reuna. Ruudukon joka toinen ruutu on valkoinen ja joka toinen musta. Laudan koko reunoineen on 50 cm · 50 cm. Laudalle pudotetaan satunnaisesti 30…
- 7. Polynomin itseisarvo12 p · MAA2Anna esimerkki toisen asteen polynomista a x^2 + bx + c, jolle yhtälöllä |a x^2 + bx + c| = 4 on täsmälleen kolme ratkaisua. Muista myös perustella, miksi esimerkilläsi on vaadittu ominaisuus. Vihje: Voi olla…
- 8. Kuinka monta nollaa?12 p · MAA11Kuinka moneen nollaan päättyy luku (10!)^1 000 000-(9!)^1 000 000 ?
- 9. Veneen kulkema matka12 p · MAA7Matti seuraa moottoriveneen nopeusmittaria ja kirjaa veneen nopeuden 20 sekunnin välein. Tuloksena on taulukko 9.A. Arvioi taulukon avulla veneen kulkemaa matkaa s=∫0^200 v(t) dt käyttämällä numeerisen integroinnin…
B2-osa
- 10. Pohditaan sarjoja12 p · MAA910.1. Mikä seuraavassa päättelyssä on väärin? ''Koska Σn=0^∞ x^n = 11-x, niin Σn=0^∞ 2^n = -1. '' (3 p.) 10.2. Määritä jokin sellainen luku x∈ R, että Σn=0^∞ ( (x) )^n=(3)/(2). Anna vastaus radiaaneissa kolmen…
- 11. Trigonometrinen yhtälö12 p · MAA6Olkoot f(x)= (x)^ (x) ja g(x)= (x)^ (x), kun 0< x <(π)/(2). Osoita, että yhtälöllä f(x)=g(x) on täsmälleen yksi ratkaisu, ja määritä se.
- 12. Kolmion piirin ja pinta-alan suhde12 p · MAA6Erään kolmion piiri on p ja sen pinta-ala on A. Toisen, tasasivuisen kolmion piiri on myös p ja sen pinta-ala on B. Osoita, että A≤ B. Voit käyttää aineistoa 12.A tehtävän tilanteen hahmottamiseksi, mutta tämä ei ole…
- 13. Epäyhtälöitä12 p · MAA1113.1. Olkoot a1,a2∈ R. Osoita, että 2a1a2≤ a1^2 +a2^2. (3 p.) 13.2. Olkoot a1, , an∈ R. Osoita, että ( 1n Σk=1^n ak^2 )^ 12≤ ( 1n Σk=1^n ak^4 )^ 14. (9 p.)