Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · SYKSY 2017

Pitkä matematiikka, syksy 2017

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2017 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAA6a) Laske ja sievennä derivaatta f'(2), kun f(x)=x^5+5x. b) Laske ja sievennä derivaatta g'(π), kun g(x)= (x). c) Laske ja sievennä derivaatta h'(2t), kun h(x)=( (x))/(x).
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAA2a) Hannele on ratkaissut yhtälön 2(x^2+x+3)=8(x+1)+2x^2, mutta välivaiheet ovat menneet sekaisin. Järjestä välivaiheet (B)–(F) niin, että ne muodostavat yhtälön loogisesti etenevän ratkaisun. Ensimmäinen välivaihe on…
  3. 3. Tehtävä 312 p · MAA2Ratkaise arvioiden oheisen kuvaajan perusteella a) yhtälö |f(x)|=2, (4 p.) b) epäyhtälö |f(x)-1|<1. (8 p.) Anna vastaukset yhden desimaalin tarkkuudella.
  4. 4. Tehtävä 412 p · MAA6a) Olkoon f(t)= (at), kun t∈ R. Millä vakion a>0 arvolla lausekkeen |f'(t)| suurin arvo on 2? b) Määritä lauseke funktiolle g(x), jolle pätee D (e^g(x) )=(6x+1) e^g(x) ja g(0)=3.

B1-osa

  1. 5. Tehtävä 512 p · MAA3Kuinka monta prosenttia kuvassa olevan pienemmän neliön sivun pituus on suuremman neliön sivun pituudesta? Kuinka monta prosenttia pienemmän neliön pinta-ala on suuremman neliön pinta-alasta? Suuremman neliön sivun…
  2. 6. Tehtävä 612 p · MAA6Ympyräsektorin säde on 3 ja keskuskulman suuruus on α. Sektori taivutetaan ympyräpohjaisen kartion vaipaksi. Mikä on kulman α tarkka arvo silloin, kun kartion tilavuus on mahdollisimman suuri?
  3. 7. Tehtävä 712 p · MAA8Tavallista noppaa heitetään kolme kertaa, jolloin saadaan heittojärjestyksessä luvut a, b, c. Laske seuraavien tapahtumien todennäköisyydet: a) Jono (a, b, c) on aidosti kasvava ja aritmeettinen. b) Jono (a, b, c) on…
  4. 8. Tehtävä 812 p · MAA6Eksponenttifunktion e^x likiarvoja voidaan laskea n-asteisten polynomien Pn(x)=1+(x)/(1!)+(x^2)/(2!)+(x^3)/(3!)+ +(x^n)/(n!) avulla, kun n=1, 2, 3, a) Kuinka suuri suhteellinen virhe syntyy, kun Neperin luvun e…
  5. 9. Tehtävä 912 p · MAA12a) Olkoot a>0 ja f(t)=ae^-at, kun t≥ 0. Osoita, että funktio f(t) toteuttaa ehdon ∫0^∞ f(t) dt=1 jokaisella parametrin a arvolla. Tästä seuraa, että f(t) on erään jatkuvan todennäköisyysjakauman tiheysfunktio. Jakaumaa…

B2-osa

  1. 10. Tehtävä 1012 p · MAA11Juha yrittää todistaa seuraavan väitteen: "Jos positiivinen kokonaisluku on jaollinen luvulla 3, niin se on jaollinen luvulla 6." Hän ehdottaa seuraavaa todistusta: Oletetaan, että a on jaollinen luvulla 6. Tällöin on…
  2. 11. Tehtävä 1112 p · MAA10Kolmiulotteisissa mallinnusohjelmissa kappaleet esitetään usein kolmioinnin avulla. Tällöin kappaleen pintaa kuvataan suurella määrällä pieniä kolmioita. Jotta voidaan selvittää, mikä kappaleen kohta näkyy tietystä…
  3. 13. Tehtävä 1312 p · MAA7Olkoon f(x) funktio, joka on määritelty välillä 0≤ x≤ 12. Alla on esitetty funktion F(x)=∫0^x f(t) dt kuvaaja välillä 0≤ x≤ 12. Arvioi kuvaajan perusteella a) määrättyä integraalia ∫1^4 f(t) dt b) millä väleillä…