YO-KOE · KEVÄT 2018
Pitkä matematiikka, kevät 2018
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2018 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.
A-osa
- 1. Tehtävä 112 p · MAA6Merkitään f(x)=x^3-x. Laske a) f(-2), b) f'(3) ja c) ∫0^4 f(x) dx.
- 2. Tehtävä 212 p · MAA2Toisen asteen polynomifunktiolle voidaan käyttää kahta erilaista esitystapaa. Summamuoto: ax^2+bx+c. Tulomuoto: a(x-x1)(x-x2). a) Muokkaa polynomi 2(x-6)(x-9) summamuotoon. b) Muokkaa polynomi x^2+x-12 tulomuotoon. c)…
- 3. Tehtävä 312 p · MAA6Määritä funktion f(x)= x+√3 x suurin ja pienin arvo välillä 0≤ x≤ 2π.
B1-osa
- 5. Tehtävä 512 p · MAA4a) Muodosta sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (2, 1) ja säde 2. Laske ympyrän niiden pisteiden y-koordinaatit, joiden x-koordinaatti on 1. b) Määritä a-kohdan ympyrän pienin etäisyys suorasta 3y=4x+20.
- 6. Tehtävä 612 p · MAA3Suorakulmaisen kolmion toinen terävä kulma on 30 astetta. Kolmion hypotenuusan keskipisteeseen piirretään kuvion mukaisesti kohtisuora jana, jonka toinen päätepiste sijaitsee kolmion kateetilla. Laske niiden kahden…
- 7. Tehtävä 712 p · MAA8Lotto-peli alkoi Suomessa vuonna 1971, ja sen sääntöjä on muutettu useita kertoja vuosien varrella. Viimeisin sääntöuudistus tehtiin vuoden 2016 lopussa. Ennen uudistusta arvottiin 7 varsinaista ja 2 lisänumeroa 39…
- 8. Tehtävä 812 p · MAA11Jyrki on 23-vuotias, ja hänellä on kolme nuorempaa sisarusta, joiden ikien tulo on 156. Minkä ikäisiä Jyrkin sisarukset ovat? Esitä kaikki kokonaislukuratkaisut.
- 9. Tehtävä 912 p · MAA6Tarkastellaan funktiota, jonka derivaattafunktio on myös derivoituva. Soveltamalla Newtonin menetelmää derivaattafunktioon saadaan selville funktion mahdollisen paikallisen ääriarvokohdan likiarvo. Selvitä Newtonin…
B2-osa
- 11. Tehtävä 1112 p · MAA6a) Anna esimerkki rationaalifunktiosta f(x), jolle epäyhtälö f(x)≥ 2 toteutuu täsmälleen silloin, kun -1≤ x≤ 0 tai 1≤ x≤ 2. b) Anna esimerkki funktiosta g(x)≥ 0, joka on määritelty kaikilla reaaliluvuilla ja jonka…
- 12. Tehtävä 1212 p · MAA12a) Olkoon a>0. Määritellään a-kantainen logaritmi funktion f(x)=a^x käänteisfunktiona, toisin sanoen a x=f^-1(x). Kiinnitetään x>1 ja määritellään g(a)= a x. Osoita, että funktio g(a) on vähenevä. b) Olkoon h(t)…
- 13. Tehtävä 1312 p · MAA12Funktio f(x) määritellään kaavalla f(x)= casesp(x) ( 1x ), & kun x>0,\ (1-x), & kun x≤ 0, cases missä p(x)=ax^2+c on toisen asteen polynomi. Onko olemassa sellaisia kertoimia a ja c, että f(x) on derivoituva?