Tehtävä 9 · 2017 · syksy

a) Olkoot $a>0$ ja $$f(t)=ae^{-at},$$ kun $t\ge 0$. Osoita, että funktio $f(t)$ toteuttaa ehdon $$\int_0^\infty f(t)\,dt=1$$ jokaisella parametrin $a$ arvolla. Tästä seuraa, että $f(t)$ on erään jatkuvan todennäköisyysjakauman tiheysfunktio. Jakaumaa kutsutaan eksponenttijakaumaksi. Huom.: Pelkkä laskin ei riitä perusteluksi. b) Eksponenttijakaumalla voidaan kuvata mm. peräkkäisten neutriinohavaintojen välistä aikaa. Eräällä havaintolaitteella peräkkäisten havaintojen väliajan mediaani oli $46{,}90$ minuuttia, eli puolessa tilastoiduista tapauksista väliaika oli tätä pienempi ja puolessa suurempi. Millä parametrin $a$ arvolla tiheysfunktio $f(t)$ kuvaa näitä mittaustuloksia?