Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · KEVÄT 2017

Pitkä matematiikka, kevät 2017

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2017 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAA2a) Ratkaise yhtälö 2x^2-7x-4=0. b) Määritä sellaiset luvut a ja b, että yhtälö (x+a)^2=x^2+14x+b pätee kaikilla muuttujan x arvoilla. c) Tarkastellaan ensimmäisen asteen polynomifunktiota p(x)=cx+d, jolle p(4)=1 ja…
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAA5Alla on viisi väittämää sekä kuusi kuviota. Valitse jokaiselle kuviolle sen väittämän kirjain, joka pätee kyseisen kuvion tapauksessa. Yksi kirjaimista tulee kahdelle eri kuviolle. Vastauksia ei tarvitse perustella.…
  3. 3. Tehtävä 312 p · MAA10Olkoot a= i+2 j+3 k ja b=2 i+5 k. Millä parametrin -2≤ t≤ 2 arvolla vektorin ct=t a+(1-t) b pituus on mahdollisimman pieni?
  4. 4. Tehtävä 412 p · MAA5Logaritmi voidaan määritellä erilaisilla kantaluvuilla. Määritelmän mukaan a x=b, jos x=a^b. Tälle a-kantaiselle logaritmille pätee kaava a x=( x)/( a). a) Olkoot x>0 ja y>0. Ratkaise y yhtälöstä 4 y= 2 x. b) Suorat…

B1-osa

  1. 5. Tehtävä 512 p · MAA7Tarkastellaan funktiota f(x)=|x-1|+1. a) Funktion lauseke voidaan sieventää välillä 0≤ x≤ 1 niin, ettei siinä esiinny itseisarvoa. Mikä on tämä sievennetty lauseke? (4 p.) b) Funktion f kuvaaja pyörähtää x-akselin…
  2. 6. Tehtävä 612 p · MAA9Suorakulmaisen kolmion muotoisesta suklaalevystä lohkotaan alla olevan kuvion mukaisesti n kappaletta yhdenmuotoisia paloja, joiden pinta-alat ovat A1, A2, A3, , An. Kuinka monta palaa suklaasta täytyy lohkaista, jotta…
  3. 7. Tehtävä 712 p · MAA6Suunnittele sellainen suoran lieriön muotoinen juomalasi, jonka pohjan paksuus on 5,0 mm, seinämän paksuus 2,0 mm, vetoisuus 2,0 dl ja jonka valmistamiseen tarvitaan mahdollisimman vähän lasia. Ilmoita lasin korkeus ja…
  4. 8. Tehtävä 812 p · MAA6Tehtävänä on määrittää se yhtälön 4x^3+18x^2+23x+7=0 ratkaisu, joka on lähimpänä kohtaa x=-1. Valitse alkuarvo (esimerkiksi kuvaajan perusteella) ja laske Newtonin menetelmällä tämän ratkaisun likiarvo neljän…
  5. 9. Tehtävä 912 p · MAA11Oletetaan, että p, q ja r ovat positiivisia kokonaislukuja. Osoita, että luku (p+q)(q+r)(r+p) on parillinen.

B2-osa

  1. 10. Tehtävä 1012 p · MAA6Tiedetään, että h(x)=g(f(x)), f(x)=e^x ja g(x)=2x^2+1. Elmeri ja Uolevi laskevat derivaatan h'(x) seuraavalla tavalla: Elmerin ratkaisu: f(x)=e^x g'(x)=4x joten h'(x)=g'(f(x))=4e^x Uolevin ratkaisu:…
  2. 11. Tehtävä 1112 p · MAA8Arkikielessä keskimääräisyyteen liittyvät käsitteet keskiarvo ja mediaani menevät usein sekaisin. Tässä tehtävässä "keskimääräisellä" tarkoitetaan keskiarvoa. a) Valtion liikenneturvallisuuslaitos pyysi…
  3. 12. Tehtävä 1212 p · MAA3Neliöiden N1, N2 ja N3 pinta-alojen suhde on 9:2:11. Kolmion K yhtenä sivuna on neliön N1 sivu, toisena sivuna neliön N2 sivu ja kolmantena sivuna neliön N3 sivu. Laske kolmion K ja neliön N2 pinta-alojen suhteen…
  4. 13. Tehtävä 1312 p · MAA12Tarkastellaan funktiota f(x)= ( 1x ), x≠ 0, jonka kuvaaja on alla. a) Etsi sellainen jono (a1, a2, a3, ) positiivisia reaalilukuja, että n→∞ an= n→∞ f(an)=0. b) Olkoon -(π)/(2)≤ t≤(π)/(2). Etsi sellainen jono (a1, a2,…