Tehtävä 8 · 2017 · syksy

Eksponenttifunktion $e^x$ likiarvoja voidaan laskea $n$-asteisten polynomien $$P_n(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}$$ avulla, kun $n=1,\,2,\,3,\ldots$ a) Kuinka suuri suhteellinen virhe syntyy, kun Neperin luvun $e$ likiarvona käytetään lukua $P_5(1)$? b) Eksponenttifunktion derivaatalle pätee $De^x=e^x$, kun $x\in\mathbb{R}$. Osoita, että tehtävän polynomeille on voimassa $$P_n'(x)=P_{n-1}(x)$$ kaikilla $n=2,\,3,\,4,\ldots$ c) Määritä pienin mahdollinen asteluku $n$, jolle $$|P_n(x)-P_n'(x)|<10^{-6}$$ kaikilla $0\le x\le 1$. Tarvittavan epäyhtälön voi ratkaista esimerkiksi kokeilemalla.