Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · SYKSY 2016

Pitkä matematiikka, syksy 2016

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2016 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAY1Mitkä väitteet A–F ja kaavat 1–6 liittyvät toisiinsa? Valitse kullekin väitteelle siihen liittyvän kaavan numero. Kaavat: (1) b=2a · (2) b=0,5a · (3) b=1,5a · (4) b= 14a · (5) b=4a · (6) b= 54a A) Luku b on 50 %…
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAA6a) Sievennä lauseke √a√a√a^2, kun a≥0. b) Laske funktion f(x)= x2+ 2x+1 derivaatan arvo kohdassa x=2. c) Laske ja sievennä ∫0^ π2( x+ x) dx.
  3. 3. Tehtävä 312 p · MAA5Digitaalisten sovellusten ansiosta binäärilogaritmin lbx= 2x käyttö on yleistynyt. a) Ratkaise yhtälö lb(x+1)- lb(4x)=1. b) Millä arvoilla n=1, 2, 3, on voimassa 2≤ lbn≤3?
  4. 4. Tehtävä 412 p · MAA6Suorakulmion yksi kärki on origossa, ja siitä lähtevät kaksi sivua sijaitsevat positiivisilla koordinaattiakseleilla. Neljäs kärki sijaitsee paraabelilla y=4-x^2 alueessa x≥0, y≥0. Määritä suorakulmion suurimman…

B1-osa

  1. 5. Tehtävä 512 p · MAA11a) Kolmion kulmat muodostavat aritmeettisen jonon, ja yhden kulman suuruus on 103^°. Määritä kulmien suuruudet asteina. b) Kolmion kulmat muodostavat geometrisen jonon, ja yhden kulman suuruus on π7 radiaania. Määritä…
  2. 6. Tehtävä 612 p · MAA10Vesikaukalon päädyt ovat tasasivuisen kolmion muotoiset, ja kolmion sivujen pituus on a. Kaukalon pohja koostuu kahdesta suorakulmion muotoisesta levystä, joiden pituus on b. a) Vaakasuorassa oleva kaukalo on aluksi…
  3. 7. Tehtävä 712 p · MAA4Tasokäyrä K muodostuu niistä pisteistä (x, y), joiden etäisyys origosta on yhtä suuri kuin etäisyys suorasta y=2. a) Johda käyrän K yhtälölle muoto y=f(x). (8 p.) b) Laske käyrän K ja x-akselin väliin jäävän rajoitetun…
  4. 9. Tehtävä 912 p · MAA11Valitse joko tehtävä 9.1 tai 9.2. 9.1. Olkoon n=2, 3, 4, kokonaisluku. Osoita, että luku n^3+6n^2-7n on jaollinen luvulla 6. 9.2. Tarkastellaan raja-arvoa x→2(x^n-60x-8)/(x^2-4) eksponentin n=1, 2, 3, eri arvoilla. a)…

B2-osa

  1. 10. Tehtävä 1012 p · MAA11Yhtälö x=g(x) voidaan usein ratkaista kiintopistemenetelmän avulla. Tällöin tehdään alkuarvaus x0 ja määritellään lukujono (xn) käyttämällä palautuskaavaa xn+1=g(xn), kun n=0, 1, 2, 3, Anna seuraavien kohtien…
  2. 11. Tehtävä 1112 p · MAA6Ympyrä sivuaa y-akselia origossa sekä käyriä y= 1x ja y=- 1x alueessa x>0. Määritä ympyrän säde.
  3. 12. Tehtävä 1212 p · MAA10Tehtävässä tutkitaan tason yhtälön erilaisia esitysmuotoja. a) Tarkastellaan yhtälöä N· ( r- r0 )=0, () kun N=3 i-2 j+5 k, r=x i+y j+z k ja r0= i+2 j+3 k. Muunna yhtälö () muotoon ax+by+cz=d () määrittämällä siinä…
  4. 13. Tehtävä 1312 p · MAA2Reaaliluku on algebrallinen, jos se on jonkin kokonaislukukertoimisen polynomin nollakohta. Tällaiset polynomit ovat muotoa P(x)=a0+a1x+a2x^2+ +anx^n, kun polynomin asteluku on n=1, 2, 3, ja kertoimet a0, a1, a2, , an…