YO-KOE · KEVÄT 2026
Pitkä matematiikka, kevät 2026
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2026 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.
A-osa
- 1. Puuttuvat luvut12 p · MAY1Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen osatehtävän vastaus on kokonaisluku. Täydennä puuttuvat luvut osatehtävissä 1.1–1.6 niin, että väitteet…
- 2. Derivaattoja ja yhdistelyä12 p · MAA6Määritä funktioiden derivaatat ja tutki niiden ominaisuuksia. Valitse kullekin funktiolle kummastakin listasta paras vaihtoehto. 2.1 f(x)=-6x^2+12x+5 (4 p.) 2.1.1 Valitse funktiolle listasta paras vaihtoehto. (2 p.) ……
- 3. Logaritmeja12 p · MAA51. Anna esimerkki positiivisista reaaliluvuista a, b ja c, jotka eivät toteuta yhtälöä (a+b+c)= a+ b+ c. (4 p.) 2. Anna esimerkki positiivisista reaaliluvuista a, b ja c, jotka toteuttavat yhtälön (a+b+c)= a+ b+ c.…
- 4. Descartesin menetelmä12 p · MAA2Ratkaise yhtälö x^4 -5x^2 + 4=0 ja osoita, että tekstissä 4.A kuvattu Descartesin menetelmä antaa sen positiivisten ratkaisujen lukumäärän oikein.
- 5. Paraabeli12 p · MAA4Paraabeli on tasokäyrä, jonka jokainen piste on yhtä kaukana annetusta suorasta ja sen ulkopuolella sijaitsevasta pisteestä. Näitä kutsutaan johtosuoraksi ja polttopisteeksi. Kuvan 5.A paraabelin johtosuora on y=-x ja…
- 6. Eiffel-torni12 p · MAA7Eiffel-tornin muotoa voidaan mallintaa xyz-koordinaatiston kappaleella, jonka rajaavat neljä pintaa x = a e^c(h-z), y = a e^c(h-z), x = -a e^c(h-z), y = -a e^c(h-z) sekä tasot z=0 ja z=h. Mallissa a=4,255, c = 0,00892,…
B1-osa
- 7. Skotlannin lippu12 p · MAA3Jalkapallofanilla on Skotlannin lippu, jonka leveys on 50 cm ja korkeus 30 cm. Lipun sinisellä pohjalla on molempien lävistäjien ympärillä valkoinen alue. Se ulottuu vaakasuuntaan 5,8 cm lävistäjältä vasemmalle ja…
- 8. Muinainen laina12 p · MAA9Korollisia lainoja oli käytössä jo muinaisessa Lähi-idässä. Säilynyt assyrialainen teksti kuvaa erästä lainaa seuraavasti: "joka kuukausi velkaan lisättiin yksi hopeasekeli velan minaa kohti". Yksi mina on arvoltaan…
- 9. Korrelaatiokerroin12 p · MAA8Anna esimerkki kahden muuttujan aineistosta, jossa on vähintään kymmenen eri datapistettä ja jossa muuttujien välinen korrelaatiokerroin on r=1. Anna vastauksena kuvakaappaus aineistosta, aineiston graafinen esitys ja…
- 10. Collatzin lukujono12 p · MAA11Collatzin jono on rekursiivinen lukujono, jonka jäsenet ovat positiivisia kokonaislukuja. Jonon seuraava jäsen an+1 saadaan edellisestä jäsenestä an seuraavalla tavalla: Jos an on parillinen, niin an+1 = 12 an. Jos an…
B2-osa
- 11. Integraalin palautuskaava12 p · MAA12Tarkastellaan epäoleellisia integraaleja In=∫0^∞ x^ne^-x dx, kun n=0, 1, 2, 3, 1. Johda palautuskaava In = n In-1, kun n≥ 1. Vihje: Integroi kaava D (x^n e^-x)=nx^n-1e^-x-x^ne^-x puolittain välillä 0≤ x≤ R. (6 p.) 2.…
- 12. Seitsensakarainen tähti12 p · MAA4George R. R. Martinin luomaan fantasiamaailmaan sijoittuvassa Game of Thrones -sarjassa esiintyy seitsensakarainen tähti (katso oheinen kuva), jonka muotoa mallinnetaan tässä tehtävässä. Tähden seitsemän kärkipistettä…
- 13. Ääriarvokohdat12 p · MAA12Määritellään funktio f : [0, 1]→ R kaavalla f(x)=∫0^x (2π z^2) dz. Missä kohdissa funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa? Voit tutkia tilannetta ohjelmistojen avulla, mutta vastaus täytyy perustella…