Collatzin lukujono · 2026 · kevät

Collatzin jono on rekursiivinen lukujono, jonka jäsenet ovat positiivisia kokonaislukuja. Jonon seuraava jäsen $a_{n+1}$ saadaan edellisestä jäsenestä $a_n$ seuraavalla tavalla: - Jos $a_n$ on parillinen, niin $a_{n+1} = \frac12 a_n.$ - Jos $a_n$ on pariton ja suurempi kuin $1,$ niin $a_{n+1} = 3a_n + 1.$ - Jos $a_n=1,$ niin jono päättyy. Esimerkiksi luvusta $a_1 = 20$ alkava Collatzin jono on $20,$ $10,$ $5,$ $16,$ $8,$ $4,$ $2,$ $1.$ Saksalainen Lothar Collatz esitti vuonna 1937 konjektuurin (eli väittämän, jota ei kyennyt todistamaan), jonka mukaan mistä tahansa alkuarvosta alkava Collatzin jono on äärellinen. Tähän päivään mennessä kukaan ei ole kyennyt todistamaan sitä oikeaksi tai vääräksi. 1. Määritä Collatzin lukujono alkuarvolla $a_1=23.$ (3 p.) 2. Selvitä ohjelmiston avulla, mikä alkuarvo välillä $2–100$ johtaa pisimpään Collatzin jonoon. Voit kirjoittaa koodisi esimerkiksi Pythonilla tai taulukkolaskentaohjelmalla. Anna vastauksena koodisi, koodin selitys ja taulukko, jossa näkyvät ainakin ne alkuarvot, jotka tuottavat viisi pisintä jonoa, sekä näiden jonojen pituudet. (9 p.)