Integraalin palautuskaava · 2026 · kevät

Tarkastellaan epäoleellisia integraaleja $$I_n=\int_0^{\infty} x^ne^{-x}\, dx,$$ kun $n=0, 1, 2, 3, \dots$ 1. Johda palautuskaava $$I_n = n\, I_{n-1},$$ kun $n\ge 1$. Vihje: Integroi kaava $D (x^n e^{-x})=nx^{n-1}e^{-x}-x^ne^{-x}$ puolittain välillä $0\le x\le R.$ (6 p.) 2. Osoita epäoleellisen integraalin määritelmää käyttämällä, että $$I_0=\int_0^{\infty}e^{-x}\, dx = 1,$$ ja päättele integraalin $I_5$ arvo palautuskaavan $I_n = n\, I_{n-1}$ avulla. (6 p.)