YO-KOE · SYKSY 2025
Pitkä matematiikka, syksy 2025
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2025 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.
A-osa
- 1. Yks, kaks, kolme, neljä12 p · MAY1Valitse oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella. Oikea vastaus 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p. 1.1 Kuinka paljon on 12 prosenttia luvusta 34? (2 p.) … 1.2 Mikä on yhtälön 12+x^3=4 ratkaisu? (2…
- 2. Perustehtäviä12 p · MAA41. Suora kulkee pisteiden (5, 0) ja (0, -3) kautta. Määritä suoran yhtälö. (4 p.) 2. Määritä funktion f(x)=3x^2+e^4x derivaatta. (4 p.) 3. Määritä integraalifunktio ∫ (5x) dx. (4 p.)
- 3. Epäyhtälö ja yhtälö12 p · MAA21. Ratkaise epäyhtälö (x-1)(x+3)>-3. (6 p.) 2. Ratkaise yhtälö (x+e)(x^2-π^2)=0. (6 p.)
- 4. Trigonometrinen yhtälö12 p · MAA5Ratkaise yhtälö 1-( x)^2 = ( 2x)^2, kun x∈ [-π, π].
- 5. Tilastollisia tunnuslukuja12 p · MAA81. Lukujen x1, , xn keskiarvo on a ja b>a. Osoita, että lukujen x1, , xn, b keskiarvo on suurempi kuin a. (6 p.) 2. Anna esimerkki seuraavat ehdot toteuttavista luvuista tai osoita, että sellaisia ei ole olemassa:…
- 6. Funktio rajoitettuna ympyrälle12 p · MAA6Tarkastellaan funktiota f: R^2→ R, joka on määritelty lausekkeella f(x,y)=xy. Määritä kaikki arvot, jotka funktio saa ympyrällä x^2 + y^2=4.
B1-osa
- 7. Geometrian laskutehtäviä12 p · MAA3Anna tässä tehtävässä pelkkä vastaus ilman perusteluja. Vastauslaatikkoon voi kirjoittaa vain yhden kokonaisluvun. Laske kussakin osatehtävässä tuntemattoman likiarvo kokonaisluvuksi pyöristettynä. 7.1 Kolmion kärjet…
- 8. Pianon osto12 p · MAA9Auri haluaa ostaa uuden pianon. Hän aikoo säästää 7 500 euroa kolmessa vuodessa, ja tallettaa uudelle säästötililleen saman summan jokaisen kuukauden ensimmäisenä päivänä ennen pankkipäivän alkua. Kuinka paljon Aurin…
- 9. Epäilyttäviä päättelyjä12 p · MAA101. Gizan suuren pyramidin korkeus on 146,6 metriä ja sen neliön muotoisen pohjan sivun pituus on 230,3 metriä. Sirius on laskenut pyramidin tilavuuden seuraavasti: Koska pyramidi on puolet oktaedrista, niin voidaan…
- 10. Eukleideen algoritmi12 p · MAA11Määritä Eukleideen algoritmilla lukujen 121 110 987 654 321 ja 123 456 789 101 112 suurin yhteinen tekijä. Voit käyttää ohjelmistoa, kunhan algoritmin välivaiheet näkyvät ratkaisussa.
B2-osa
- 11. Ellipsin yhtälö12 p · MAA4Olkoot P ja Q tason pisteitä. Ellipsi on niiden tason pisteiden Z muodostama käyrä, joille etäisyyksien |PZ| ja |QZ| summa on vakio k>|PQ|. Pisteitä P ja Q kutsutaan ellipsin polttopisteiksi. Tarkastellaan ellipsiä,…
- 12. Ortogonaaliset funktiot12 p · MAA12Jatkuvat funktiot f:[a, b]→ R ja g:[a, b]→ R ovat ortogonaaliset, jos ∫a^b f(x)g(x) dx=0. Tutkitaan tässä tehtävässä vain jatkuvia funktioita, jotka eivät ole nollafunktioita (eli funktiot saavat muitakin arvoja kuin…
- 13. Melkein kaikkialla derivoituva funktio12 p · MAA6Olkoon f: R→ R funktio, jolle f'(x)>0, kun x≠ 0. Perustele jokainen seuraavista väittämistä tai osoita vastaesimerkillä, että se ei päde. Funktio f on jatkuva. Funktio f on kasvava. Jos f on jatkuva, niin se on…