Oikein vai väärin? · 2025 · kevät

1. Olivia derivoi funktion $f(x)=\frac{x^3-2x+1}{10}$ seuraavasti: $$f'(x)=\frac{10D(x^3-2x+1)-(D 10)(x^3-2x+1)}{10^2}=\frac{10D(x^3-2x+1)}{10^2}=\frac{3x^2-2}{10}.$$ Onko päättely oikein vai väärin? Korjaa mahdolliset virheet. Johda lopputulos myös jollakin yksinkertaisemmalla tavalla. (4 p.) 2. Leo selvittää seuraavasti, kuinka moneen nollaan luku $2000!-10^{300}$ päättyy: Kertomassa kerrotaan peräkkäisiä lukuja ykkösestä alkaen, joten luvun perään saadaan nolla aina, kun tulee vastaan kymmenen. Kymmenellä jaollisia lukuja on tulossa $\frac{2000}{10}=200.$ Lisäksi nolla tulee luvun perään, jos tulon tekijöinä on kahdella jaollinen luku ja viidellä jaollinen luku. Kahdella jaollisia lukuja on niin tiheässä, että riittää tarkastella viidellä jaollisia. Niitä on $\frac{2000}{5}=400.$ Yhteensä ensimmäisessä luvussa on siis $200+400=600$ nollaa. Toisessa luvussa on $300$ nollaa. Erotuksessa on siten $600-300=300$ nollaa. Tämän jälkeen Leo tarkisti laskimella, ja laskin antoi tulokseksi $5736$-numeroisen luvun, joka päättyi $300$ nollaan. Tästä hän totesi päätelleensä oikein. Onko päättely oikein vai väärin? Korjaa mahdolliset virheet. (8 p.)