Raja-arvo · 2024 · kevät

Ohjelmiston mukaan $$\lim_{x\to 0}\left( \frac{1}{x^2}-\frac{\sin x}{x^3}\right) = \frac16.$$ Perustele tämä tulos seuraavien välivaiheiden avulla. [i] Osoita, että $\displaystyle x-\sin x - \frac{1}{6}x^3\le 0,$ kun $0\le x\le 1.$ [ii] Osoita, että $\displaystyle x-\sin x - \frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5\ge 0,$ kun $0\le x\le 1.$ [iii] Osoita, että $\displaystyle\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{120}x^5\le x- \sin x \le \frac{1}{6}x^3,$ kun $0\le x\le 1.$ [iv] Osoita, että $\displaystyle\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{120}x^5\ge x- \sin x \ge \frac{1}{6}x^3,$ kun $-1\le x\le 0.$ [v] Perustele näiden epäyhtälöiden avulla, että raja-arvo on $\displaystyle\frac16.$ Välivaiheita voi perustella toisistaan riippumattomasti. Esimerkiksi vaiheen [iv] osapisteet saa osoittamalla, että se seuraa vaiheesta [iii], riippumatta siitä, onko vaihe [iii] todistettu. Sama pätee muihinkin vaiheisiin.