Brownin liike · 2024 · kevät

Vuonna 1827 kasvitieteilijä Robert Brown tutki mikroskoopilla, miten siitepölyhiukkanen liikkuu nykien vedessä. Brownin koe viittasi molekyylien olemassaoloon, ja sillä oli siten tärkeä rooli atomiteorian historiassa. Tutkitaan yksinkertaistettua Brownin liikettä. Hiukkasen liike tasossa alkaa origosta. Tasaisin väliajoin hiukkanen liikkuu yhden yksikön verran joko ylös, alas, oikealle tai vasemmalle. Jokaisen suunnan todennäköisyys on $\frac14.$ Esimerkiksi ensimmäisen askeleen jälkeen mahdolliset sijainnit ovat $(0, 1)$, $(0, -1)$, $(1, 0)$ ja $(-1, 0)$. Tutkitaan hiukkasen sijaintia neljän askeleen jälkeen. Kutsutaan tätä päätepisteeksi. Määritä päätepisteen kaikki mahdolliset $x$-koordinaatit sekä niiden todennäköisyydet.