YO-KOE · SYKSY 2018
Pitkä matematiikka, syksy 2018
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2018 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.
A-osa
- 1. Tehtävä 112 p · MAA2a) Ratkaise epäyhtälö x^2≤ 4. b) Mitkä luvut x∈ R toteuttavat molemmat epäyhtälöt x^2-4x+3≤ 0 ja x^2-4≤ 0?
- 2. Tehtävä 212 p · MAY1a) Sievennä lauseke (1)/(1+x)+(1)/(1+ 1x), kun x≠ 0 ja x≠ -1. b) Aseta luvut √2, √[3]3 ja √[5]5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi.
- 3. Tehtävä 312 p · MAA7Laske integraalit a) ∫-1^1(1)/(3+x) dx ja b) ∫-1^1 e^2|x| dx.
- 4. Tehtävä 412 p · MAA5Ratkaise seuraavat yhtälöt välillä [0, 2π]: a) x=1 b) f'(t)=0, kun f(t)= t c) z=(1+ z)(1- z).
B1-osa
- 5. Tehtävä 512 p · MAA10Olkoot u= i+2 j+3 k ja v=- i-7 k vektoreita. Laske summa u+2 v, pistetulo u· v sekä vektoreiden u ja v välisen kulman likiarvo asteen tarkkuudella.
- 6. Tehtävä 612 p · MAA4Suora y=kx sivuaa ympyrää (x-5)^2+(y-5)^2=1. a) Määritä kulmakertoimen k kaikki mahdolliset arvot. b) Määritä suurempaa kulmakerrointa vastaavan sivuamispisteen koordinaatit.
- 7. Tehtävä 712 p · MAA5Tšernobylin vuoden 1986 ydinvoimalaonnettomuuden jälkeen radioaktiivista cesium-137-isotooppia levisi suureen osaan Eurooppaa ja myös Suomeen. Koska tämän isotoopin puoliintumisaika on 30 vuotta, niin tietylle alueelle…
- 8. Tehtävä 812 p · MAA3Yksikköympyrän kehän pituus on 2π. Arvioi tätä lukua approksimoimalla ympyrää sen sisään piirretyllä säännöllisellä kuusikulmiolla ja laskemalla kuusikulmion piirin pituus. Muodosta toinen arvio säännöllisen 12-kulmion…
- 9. Tehtävä 912 p · MAA12Weibullin (λ, k)-jakauman avulla voidaan kuvata mm. maantiepölyn hiukkasten kokoa. Tutkitaan tapausta λ=1, jolloin jakauman tiheysfunktio määritellään kaavalla w(t, k)=kt^k-1e^-t^k, kun t≥ 0 ja k>0. Weibullin…
B2-osa
- 10. Tehtävä 1012 p · MAA11Tässä tehtävässä on käytössä kaksi mittakeppiä sekä kynä, jolla voi tehdä merkintöjä. Tarkoituksena on mitata keppien avulla pituuksia. Silmämääräisiä arvioita ei sallita. a) Voidaanko 5 metrin ja 3 metrin keppien…
- 11. Tehtävä 1112 p · MAA3Alla olevien kuvioiden kaksi tilannetta ovat syntyneet erään abiturientin harjoitellessa dynaamisen matematiikkaohjelman käyttöä. Tehtävänä on auttaa häntä viemään tarkastelu loppuun molemmissa tapauksissa. a) Mitä…
- 12. Tehtävä 1212 p · MAA8Digitaalikellossa numerot nollasta yhdeksään esitetään numeron 8 muotoon asetettujen seitsemän LED-valon avulla (ks. kuva 1). a) Kuinka monta eri merkkiä ledeillä voidaan esittää, jos merkiltä vaaditaan, että se on…
- 13. Tehtävä 1312 p · MAA12a) Määritä sellainen vakion a tarkka arvo, että yhtälöllä x^2=a+ x on täsmälleen yksi ratkaisu x>0. (4 p.) b) Edellinen kohta voidaan yleistää korvaamalla x^2 kasvavalla funktiolla f(x), jolle pätee f''(x)>0 kaikilla…