Tehtävä 15 · 2015 · kevät

Tarkastellaan summaa $\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+1)}$. a) Laske summat, kun $n=1, 2, \ldots, 5$, ja muodosta niiden perusteella arvaus summan arvolle ylärajan $n$ funktiona. (3 p.) b) Määritä sellaiset kertoimet $A\in\mathbb R$ ja $B\in\mathbb R$, että kaava $$\frac1{k(k+1)}=\frac Ak+\frac B{k+1}$$ on voimassa kaikilla $k\ge1$. (2 p.) c) Todista a-kohdassa arvaamasi lauseke oikeaksi käyttämällä b-kohdan kaavaa. (6 p.) d) Määritä raja-arvo $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+1)}$. (1 p.)