Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · KEVÄT 2012

Pitkä matematiikka, kevät 2012

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2012 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAY1Ratkaise yhtälöt a) x^2-x-6=0 b) x6- x-32- 79=0 c) x2- 2x=0
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAY1a) Laske lausekkeen 154- ( 63 )^2 arvo. b) Laske lausekkeen √6·(3!)-6 arvo. c) Sievennä lauseke x2+ 2. d) Sievennä lauseke ^2x+ ^2(x+2π). e) Laske integraali ∫0^1(x+1) dx. f) Laske funktion f(x)=4e^2x derivaatta…
  3. 3. Tehtävä 312 p · MAA4Näytä, että pisteet A=(2, 1), B=(4, 0) ja C=(5, 7) ovat suorakulmaisen kolmion kärjissä.
  4. 4. Tehtävä 412 p · MAA10Määritä kaikki vektorit a=x i+y j+z k, joiden pituus on √22 ja joiden kohtisuora projektio xy-tasolle on vektori 2 i+3 j.
  5. 5. Tehtävä 512 p · MAA6Määritä funktion f(x)= xx suurin arvo, kun x>0.
  6. 10. Tehtävä 1012 p · MAA5Ratkaise yhtälöt a) 3 x2+3=0 b) 2 ^2x+3 x-3=0

B1-osa

  1. 6. Tehtävä 612 p · MAA8Ringettejoukkueen kolmen hyökkääjän todennäköisyydet tehdä maali rangaistuslaukauksella ovat 65 %, 75 % ja 54 %. Kukin kolmesta hyökkääjästä saa yhden yrityksen. a) Millä todennäköisyydellä ainakin yksi hyökkääjä tekee…
  2. 7. Tehtävä 712 p · MAA7Olkoon t>0. Paraabeli y=ax^2+bx+c kulkee pisteen (0, 1t ) kautta ja sivuaa x-akselia pisteessä (t, 0). a) Määritä kertoimet a, b ja c parametrin t avulla lausuttuna. b) Näytä, että paraabelin ja koordinaattiakselien…
  3. 8. Tehtävä 812 p · MAA6Eräässä huippuyliopistossa on 5 000 opiskelijaa, joista yksi sairastuu hiihtolomalta palattuaan influenssaan. Virus alkaa levitä kampuksella, ja siihen sairastuneiden opiskelijoiden lukumäärää kuvaa funktio f(t)=…
  4. 9. Tehtävä 912 p · MAA3Suoran ympyräkartion korkeus on 5,0 cm, ja sen pohjan säde on 2,0 cm. Kartio katkaistaan niin, että yläreunan säde on 1,0 cm. Tämän jälkeen katkaistun kartion vaippa maalataan siniseksi ja sitä pyöritetään kyljellään…
  5. 11. Tehtävä 1112 p · MAA11Tasasivuisen kolmion K1 sivun pituus on a. Sen sisään asetetaan ympyrä Y1, joka sivuaa kolmion kylkiä. Tämän ympyrän Y1 sisään asetetaan tasasivuinen kolmio K2, jonka kärjet ovat ympyrällä Y1. Jatkamalla näin saadaan…
  6. 12. Tehtävä 1212 p · MAA11Tuotteen hinta- ja muut tiedot voidaan tallentaa viivakoodiin (UPC = Universal Product Code). Numeerisessa muodossa viivakoodi on lukujono (d1,d2, ,d12), jossa kukin di∈\0,1,2, ,9\. Viimeinen luku d12 on…
  7. 13. Tehtävä 1312 p · MAA11Funktioiden f(x)=1-x ja g(x)=3 x kuvaajilla on kolme leikkauspistettä. Laske niiden koordinaateille kaksidesimaaliset likiarvot valitsemallasi numeerisella menetelmällä.

B2-osa

  1. 14. Tehtävä 1412 p · MAA6Hyperbolinen kosini x ja hyperbolinen sini x määritellään kaavoilla x= 12 (e^x+e^-x ) ja x= 12 (e^x-e^-x ), kun x∈ R. a) Näytä, että ( x)^2-( x)^2=1 kaikilla x∈ R. (2 p.) b) Näytä, että (d)/(dx)( x)= x. (2 p.) c)…
  2. 15. Tehtävä 1512 p · MAA3a) Kaksi ympyrää sivuaa toisiaan ja x-akselia kuvan 1 mukaisesti. Määritä ympyröiden keskipisteiden vaakasuora etäisyys d niiden säteiden avulla lausuttuna. (4 p.) b) Kolme ympyrää sivuaa toisiaan ja x-akselia kuvan 2…