Tehtävä 14 · 2012 · kevät

Hyperbolinen kosini $\cosh x$ ja hyperbolinen sini $\sinh x$ määritellään kaavoilla $$\cosh x=\frac12\left(e^x+e^{-x}\right)\quad\text{ja}\quad\sinh x=\frac12\left(e^x-e^{-x}\right),$$ kun $x\in\mathbb R$. a) Näytä, että $(\cosh x)^2-(\sinh x)^2=1$ kaikilla $x\in\mathbb R$. (2 p.) b) Näytä, että $\frac{d}{dx}(\sinh x)=\cosh x$. (2 p.) c) Näytä, että funktiolla $\sinh x$ on käänteisfunktio, ja määritä sen lauseke logaritmin avulla lausuttuna. (6 p.) d) Mikä on c-kohdan käänteisfunktion määrittelyjoukko? (2 p.)