Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · SYKSY 2012

Pitkä matematiikka, syksy 2012

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2012 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAY1Ratkaise yhtälöt a) 2(1-3x+3x^2)=3(1+2x+2x^2) b) |x|=1+x c) 1-x= 11-x
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAY1Sievennä lausekkeet a) (x+ 1x )^2- (x- 1x )^2 b) (x^2-9)/(x+3) c) x2+ e^xx+ 2
  3. 3. Tehtävä 312 p · MAA7a) Määritä funktion f(x)= 12e^x( x+ x) derivaatan arvo kohdassa x=0. b) Laske integraalin ∫0^π (1+ x3 )dx tarkka arvo.
  4. 4. Tehtävä 412 p · MAA3a) Olkoon α∈ [π, 3π2 ] sellainen kulma, että α=- 13. Määritä lukujen α ja α tarkat arvot. b) Laske oheisessa kuvassa olevan kolmion sivun pituuden a tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo.
  5. 5. Tehtävä 512 p · MAA6Määritä polynomin f(x)=x^3-6x^2-15x+2 suurin ja pienin arvo välillä [2, 6].
  6. 13. Tehtävä 1312 p · MAA12Määritä raja-arvo x→∞ ( (4x+3)- (3x+4) ).

B1-osa

  1. 6. Tehtävä 612 p · MAA7Laske paraabelin y^2=4x ja suoran 4x-3y=4 väliin jäävän rajoitetun alueen pinta-ala. Anna vastauksena tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo.
  2. 7. Tehtävä 712 p · MAA5Erään mallin (R. MacArthur & E. O. Wilson, 1967) mukaan saarella pesivien lintulajien lukumäärä n riippuu saaren pinta-alasta A likimain kaavan n=kA^b mukaisesti, missä k ja b ovat saaresta riippumattomia positiivisia…
  3. 8. Tehtävä 812 p · MAA8Kiireisellä professorilla on yksi luento jokaisena viitenä arkipäivänä, mutta hän ehtii pitää päivittäisen luentonsa vain 80 prosentin todennäköisyydellä. a) Millä todennäköisyydellä hän ehtii pitää viikon kaikki…
  4. 9. Tehtävä 912 p · MAA10Olkoot a=( φ-2 φ) i+ j+( φ+2 φ) k, b=( φ+ φ) i+ j+( φ- φ) k. a) Osoita, että vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan kaikilla φ∈ R. b) Olkoon φ=0. Onko olemassa sellaisia kertoimia s,t∈ R, että i- j=s a+t b?
  5. 10. Tehtävä 1012 p · MAA6Tutki, kuinka monta ratkaisua yhtälöllä e^x+a=x on vakion a∈ R eri arvoilla.
  6. 12. Tehtävä 1212 p · MAA11Erään vuorokauden lämpötilaa f(t) tutkittiin ajan t funktiona mittaamalla lämpötila Celsius-asteina kolmen tunnin välein keskiyöstä alkaen. Tuloksena saatiin seuraava taulukko: array|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c| t & 0.00 &…

B2-osa

  1. 11. Tehtävä 1112 p · MAA11a) Geometrisen jonon kaksi peräkkäistä termiä ovat rationaalilukuja. Osoita, että jonon kaikki termit ovat rationaalilukuja. b) Geometrisessa jonossa on ainakin kaksi rationaalista termiä. Osoita, että rationaalisia…
  2. 14. Tehtävä 1412 p · MAA12Sijoittaja käytti osakkeen kurssikehityksen arvioimiseen todennäköisyysjakaumaa, jonka tiheysfunktion maksimi saavutetaan markkina-arvolla 20,50 € ja joka on nolla yli viiden euron poikkeamilla markkina-arvosta 20,50…
  3. 15. Tehtävä 1512 p · MAA10Suora ympyrälieriö on pallon sisällä niin, että sen molempien pohjien reunat sivuavat pallon pintaa. Pallon pinta-alan suhdetta lieriön koko pinta-alaan merkitään symbolilla t. Lieriön koko pinta-alalla tarkoitetaan…