Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · SYKSY 2011

Pitkä matematiikka, syksy 2011

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2011 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAY1a) Ratkaise yhtälö 3x^2=-x. b) Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on 5 ja toisen kateetin pituus 2. Laske toisen kateetin pituus. c) Ratkaise yhtälö 4x-15= x+12+ 3-x4.
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAA4a) Sievennä lauseke 1√2+ 12+√2 välivaiheet esittäen. b) Laske suoran y=2x ja ympyrän x^2+y^2=1 leikkauspisteet. c) Olkoon f(x)=2^-x. Laske f'(1).
  3. 3. Tehtävä 312 p · MAA5a) Ratkaise yhtälö (x+1)- (x-1)= 4+ 2. b) Ratkaise epäyhtälö (2x+1)/(x-1)≥3. c) Määritä pisteen (3, -2) etäisyys suorasta 4x-3y=2.
  4. 4. Tehtävä 412 p · MAA7a) Näytä, että molemmat funktiot F1(x)= 11-x ja F2(x)= x1-x ovat funktion f(x)= 1(1-x)^2 integraalifunktioita, kun x>1. b) Sievennä erotus F1(x)-F2(x). c) Laske funktion f(x) kuvaajan ja x-akselin rajoittaman alueen…
  5. 5. Tehtävä 512 p · MAA10Laske vektoreiden a=2 i+ j-2 k ja b=3 i-2 j- k välinen kulma asteen kymmenesosan tarkkuudella.
  6. 6. Tehtävä 612 p · MAA12a) Laske x→2(x^2-4)/(x-2). b) Ratkaise epäyhtälö |(x^2-4)/(x-2)-4 |<0,01.
  7. 11. Tehtävä 1112 p · MAA11Lukujonon (an) termit ovat muotoa an= n2n+1, n=1,2,3, a) Näytä, että 0<an< 12, kun n=1,2,3, b) Näytä, että an+1>an, kun n=1,2,3, c) Määritä n→∞an.

B1-osa

  1. 7. Tehtävä 712 p · MAY1Poiseuillen lain (Jean Louis Marie Poiseuille, 1797–1869) mukaan putkessa virtaavan veden virtausnopeus on suoraan verrannollinen putken halkaisijan neljänteen potenssiin, kun muut tilanteeseen liittyvät suureet…
  2. 8. Tehtävä 812 p · MAA8Eräässä tietokonepelissä pelaaja etenee ylimmälle tasolle oheisen kaavion mukaisesti ja saa kaavioon merkityn pistemäärän. Jokaisessa risteyksessä hän valitsee satunnaisesti yhden tasavertaisista vaihtoehdoista ja…
  3. 10. Tehtävä 1012 p · MAA5Määritä funktion f(x)=3 ^2x- ^2x-2 nollakohdat sekä suurin ja pienin arvo.
  4. 12. Tehtävä 1212 p · MAA11Isaac Newton esitti vuonna 1669 nimeään kantavan menetelmän, jonka avulla funktioiden nollakohtia voidaan laskea numeerisesti. Yhtenä esimerkkinä menetelmänsä toimivuudesta hän käytti polynomia f(x)=x^3-2x-5. a) Laske…
  5. 13. Tehtävä 1312 p · MAA11Osoita epäsuoraa todistusta käyttämällä, että 50 ei ole rationaaliluku. ( = 10)

B2-osa

  1. 14. Tehtävä 1412 p · MAA7Olkoon f(x)=ax+b. a) Laske ∫0^1f(x) dx. (3 p.) b) Johda lausekkeet summille Sn= 1nΣi=1^nf ( in ) ja sn= 1nΣi=1^nf ( i-1n ), kun n=1,2,3, (5 p.) c) Laske raja-arvot n→∞Sn ja n→∞(Sn-sn). (4 p.)
  2. 15. Tehtävä 1512 p · MAA3Merkitään kolmion ABC keskijanojen AD ja BE leikkauspistettä kirjaimella P. a) Jos F on janan AP keskipiste ja G janan BP keskipiste, niin osoita, että janan FG pituus on puolet janan AB pituudesta. (3 p.) b) Osoita,…