YO-KOE · KEVÄT 2007
Pitkä matematiikka, kevät 2007
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2007 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.
A-osa
- 1. Tehtävä 112 p · MAY1a) Ratkaise yhtälö 7x^2-6x=0. b) Ratkaise epäyhtälö |3x-2|<4. c) Sievennä lauseke √[3]a√ a (a>0).
- 2. Tehtävä 212 p · MAA7a) Laske integraali ∫0^ 12 (1+2x^2 )dx. b) Määritä funktion f(x)=√x^2+1 derivaatta f'(1). c) Sievennä lauseke e^2 x-2x^2.
- 6. Tehtävä 612 p · MAA2Ratkaise epäyhtälö (x^2+7x+2)/(x-3)>1.
- 8. Tehtävä 812 p · MAA12Satunnaismuuttuja X saa arvoja väliltä [0,1], ja sen tiheysfunktio on muotoa f(x)= xa+ a2. Määritä vakio a. Millä todennäköisyydellä X on välillä [0, 12 ]?
- 10. Tehtävä 1012 p · MAA11Jonon (an) termit ovat muotoa an=(2n-2)/(n+1), n=1,2,3, . Osoita, että kaikille termeille pätee an<2 ja an+1>an. Määritä raja-arvo n→∞an.
B1-osa
- 3. Tehtävä 312 p · MAA9a) Merivettä, jossa on 4,0 painoprosenttia suolaa, haihdutetaan altaassa, kunnes sen massa on vähentynyt 28 %. Mikä on suolapitoisuus haihduttamisen jälkeen? Anna vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella. b) Mikä on…
- 4. Tehtävä 412 p · MAA10Määritä jokin pisteiden A=(2, 3, 6) ja B=(4, -7, -3) kautta kulkevan suoran suuntavektori ja muodosta suoran parametriesitys. Määritä suoran ja xy-tason leikkauspiste.
- 5. Tehtävä 512 p · MAA4Laske suorien x+y=1, x+y=6, x-3y=1 ja x-3y=-4 väliin jäävän alueen pinta-ala.
- 7. Tehtävä 712 p · MAA6Suoran ympyräpohjaisen kartion sisään asetetaan tilavuudeltaan suurin mahdollinen suora ympyräpohjainen lieriö, jonka akseli on kartion akselilla, pohjista toinen on kartion pohjalla ja toisen kehä koskettaa kartion…
- 9. Tehtävä 912 p · MAA10Laske kuution avaruuslävistäjän AG ja sivutahkon lävistäjän AC suuntien välinen kulma 0,1 asteen tarkkuudella. Laske edelleen avaruuslävistäjän AG ja sivutahkon lävistäjän BD suuntien välinen kulma.
- 12. Tehtävä 1212 p · MAA11Laske integraalin ∫1^3 1x dx tarkka arvo. Laske sille myös viisidesimaalinen likiarvo puolisuunnikassäännöllä käyttämällä neljää jakoväliä. Mikä on likiarvon suhteellinen virhe prosentteina?
B2-osa
- 11. Tehtävä 1112 p · MAA12Olkoon f funktio, jolla on seuraavat ominaisuudet: f(x+y)=f(x)f(y) kaikilla reaaliluvuilla x ja y, f(0)=1 ja f on derivoituva muuttujan arvolla 0. Osoita erotusosamäärää käyttäen, että f on derivoituva kaikkialla ja…
- 14. Tehtävä 1412 p · MAA11Olkoon Pn(x)=Σi=1^nx^i välillä -1<x<1, n=1,2,3, . a) Perustele, miksi raja-arvo f(x)= n→∞Pn(x) on olemassa välillä -1<x<1. Määritä f(x). b) Johda ja sievennä erotuksen Pn(x)-f(x) itseisarvon lauseke. c) Kuinka suuri on…
- 15. Tehtävä 1512 p · MAA3a) Olkoon a>0, b>0 ja 0<p<2. Näytä, että pab<a^2+b^2. b) Osoita, että jos suorakulmaisella kolmiolla ja neliöllä on sama pinta-ala, niin kolmion piiri on pidempi kuin neliön piiri.